40700

*l- :'

-

C',br,;u^,",i;

MA3

- (. I- ,-, ., ,,t .. ,, *. f

Yjtq9g*tel_ery,Alrlp

- :-; -:o.iif

I - Enginyeria Industrial

2014-15-T

PRIMER EXAMEN PARCIAL
GRUPS:_A:

DATA: 2e11012014

9*-_

COGNON{S, NOM:

fnstruccions: (1) Durada de l'examen: 2.5h; (2) Poseu e1 nom a tots els fulis; (3) Entregueu
encara que sigui un full en blanc amb e] nom; (4) No podeu tenir cap mena de formulari; (5)
Noes considerard correcta cap pregunta que rro estigui raonada de forrna BREU i clara. (6)
Doneu els resultats aproximats amb 3 xifres decimals.

1. Responeu els seguents apartats:

(a) (t.5 punts) Calculeu eI n/rmero

complex z que satisfA:

2eit + -st/s-lt:2J5t
z
(b) (1.5 puats) Tlobeu i

representeu grd,ficament

i

de forma conjunta eis z

que:

(22+22+2)2 Qs -32?)

€ C tals

:o

2. Donades lesmatrius:

[rrrrl
1 1 2l

*:lt
^n:11 t z 4l' t
[r24 r.]

[1111-]
lt
'rv:1, ir oI 0lol

frooo]

considereu que cada columna de lll 6s un vector z, € IR4, i : 1,. . . ,4 expressat en la
base candnica i que cada columna rle .Iy' 6s un vector ui € R4, 'i : l, ., . ,4 expressat com
a cornbirraci6 iineal dels vectors {'ur, 'ur, uJ, 'u4}.

(a) (0.5 punts) Indiqueu que es pot {er per ta1 de decidir si elsvectors de la familia
{ut, ,2, ug, un} i els vectors de Ia familia {rt, ,2, us, ua} s6n base de IRa,
(b) (0.5 punts) Suposarrt que un vector de ur e Ra 6s ta1 quel

w:3u,r * ltz * 5u3 *

2ua

indiqueu quirr cdlcul rnatricial 6s el que perrnet trobar les seves coordenades err
la base candnica i quin altre cAlcu} matricia] 6s el que cal fer per a trobar les
coordenades de u en la base {ur, ,r, us;us}.

(c) (t punt) Ttieu,

d'entre els dos planteiaments anteriors, e} que signifiqui un cdlcril
i interpreteu el resultat que obteniu.

m6s senzill. Executeu-lo

3.

Considereu el subespai vectoriai .R4 sobre

.R:

F: {(*,y,z,t)f r -y +t:0,2 * 2z:0,Ytr,y,2,, e fi}
(a) (0.5 punt) Demostreu que efectivament, 6s un subespai vectorial.
(b) (0.75 punt) Tlobeu una base de -F. Digueu quina 6s Iadimensi6 de F,.
(c) (0.75 punt) El vector u: (-4,-1,2,3) pertany a F? En cas afirmatiu,
Ies seves coordenades en Ia base trobada en

(d) (0.5 punt)
4. Sigui

/

*t

: IR.r

-+

Per a quin(s) valor(s) de k, el vector

IRr
-a

calculeu

I'apartat anterior.

u:

(2,2,k,0) no pertany a F?

definida tal que:

f (*r,*z,q)

:

(2r1

*

23rz

* 1613, -15x2 -

1013, Lbrz 11013),

es dernana que:

(") (0.5 punts)Justifiqueu que / 6s un endomorfisme.
(b) (0.5 punts) Calculeu eI nucli de /.
(") (2.0 punts) Indiqueu convenientment el polinomi caracteristic, 1'equaci6 caracteristica, els valors propis i els vectors propis associats a aquest endomorfisme, abans
de decidir si 6s diagonalitzable o no. En el cas que ho sigui, determineu una base
en Ia que la matriu associada a l'endomorflsme 6s diagonal iespecifiqueu quina 6s
aquesta matriu diagonal, aixi com la corresponent matriu de canvi de base. En cas
contrari, expliqueu la ra6 per ia qual no ho 6s.

?q*'t"t4:l

G

:!-.

.,'

I

.

'U

)

4

1.,
L

Nom, cognom:

l/IEropps MATEMArrquns r

1rofio*"[*ffiffi2s14

SO;;-:

Durada de I'examenr Zf,

No es considerarh, correcta cap pregunta que no estigui raonada de forma breu i clara.

(1) (a) (t.S punts)Calculeu el nrimero complex z que satisfi,:

2 eit
(b) (1.5 punts)

TYobeu

+ -s'/zz - st :

2rti.

i representeu grbficament i de forma conjunta

que:
(22

+ zz +

2)2 Q5

-

32i,)

(2) (2 prlnts) Tot i considerant el subconjunt A c

:

lR.6

eis

z e C tais

g

definit per

A: { lrr,*r,rs,fi4trs,ra)T e IR6 : Zrt-3rz'f 4r3- r.4-2r5*L2r6:Q,
-2rt*2rs:8ra* 4r5, 2rz* 8rs * 4ra*4r5 - 16, 2r1-4r2-2r5: -z*ul,
(a) Justifiqueu que t6 estructura de subespai vectorial
(b) Indiqueu quin sistema d'equacions lineals caldria plantejar i resoldre per tal d'aconseguir determinar una base i Ia dimensi6 d'A
(c) Suposant que el resultat d'aplicar el mbtode de Gauss-Jordan aI sistema d'equacions de i'apartat anterior 6s

[rooo-5-ry
t; ; ; ; _; -4

t; ;

i;i

L;;;;;

ol

#
+

decidiu quina dimensi6 t6 A i...