5 1_ 2_Areas_coord_rectg_13 B

Lucia González Rendón

INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

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ÁREA DE UNA REGIÓN EN EL PLANO

Las integrales iteradas pueden utilizarse para calcular el área de una región plana R, tal como se resume a
continuación.
Área de una región plana
➀

Si R está definida por a  x  b y g1 ( x)  y  g 2 ( x) , donde g 1 y g 2 son continuas en [ a, b] ,
entonces el área de la región R estádada por
A

b

 
a

➁

g 2 ( x)

dy dx

Figura 1. (verticalmente simple)

g 1 ( x)

Si R está definida por c  y  d y h 1( y)  x  h 2 ( y) , donde h1 y h2 son continuas en [ c, d ] ,
entonces el área de la región R está dada por
A

d

 
c

h 2 ( y)

dx dy

Figura 2. (horizontalmente simple)

h 1 ( y)

Nota. Observar que en estas dos integrales, el orden de integración es diferente. Confrecuencia, uno de los órdenes de
integración hace que una integral resulte más sencilla que en el otro orden. Es decir, el orden de integración afecta a la
complejidad de la integración, pero no el valor de la integral.

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INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

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Cómo decidir el orden de integración
Como ayuda para plantear una integral iterada con límites deintegración correctos, es útil visualizar la integral
iterada como un proceso de sumatorias de áreas de rectángulos.
Colocar un rectángulo representativo en la región R ayuda primero a determinar el orden de integración y luego a
establecer los límites de integración. Por ejemplo, un rectángulo vertical implica el orden dy dx , pero ¿qué
información podemos obtener del orden de integración?
Regiónverticalmente simple: orden dy dx
La dy colocada antes de la dx nos indica que:
› En las ecuaciones dadas, y debe estar en función de x, es decir, despejar y.
› Los rectángulos verticales (paralelos al eje y) están desde una curva frontera inferior g1 , hasta una curva
frontera superior g 2 . Dicho en otras palabras, la región R vista verticalmente (de abajo hacia arriba) está
comprendida entre una curvaabajo y  g1 ( x) y otra curva arriba y  g 2 ( x) . Es decir, g1 ( x)  y  g 2 ( x) .
› La dx al final implica que los límites de x deben ser constantes. La dx al final significa que la sumatoria
de áreas de los rectángulos verticales empieza a la izquierda en x  a y termina a la derecha en x  b . Es
decir, a  x  b .
De manera similar, un rectángulo horizontal implica el orden dx dy , y loslímites de integración se

determinan de manera semejante.
Ejemplo 1.

Integral iterada en los dos órdenes de integración

Plantee una integral iterada en los dos órdenes de integración que represente el área de la región limitada por las
gráficas de las ecuaciones dadas y mostrar que ambas integrales dan el mismo valor.
x  y2 , x  4, y  0 .
Solución

Empezamos por graficar las ecuaciones ysombrear la región descrita. Figura 3.

Figura. 3

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INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

Para el orden de integración dy dx:

Para el orden de integración dx dy:

Es conveniente dibujar un rectángulo vertical que
represente a cualquiera de los infinitos posibles
que hay dentro de la región, como se ve en la
figura 4. Esta región vista verticalmente, de abajo
haciaarriba, está comprendida entre las gráficas
de y  0 (eje x) y y  x (se despeja y de la

Se dibuja un rectángulo o flecha horizontal,
como se ve en la figura 5. Lo que significa que la
región R vista horizontalmente, está limitada a la
izquierda por la parábola x  y 2 (ahora se
despeja x) y a la derecha por la recta x  4 , es
decir,

ecuación x  y 2 ), es decir:
0 y 

y2  x  4

x

Ademásesta región comprendida entre estas dos
gráficas, empieza en x  0 y termina en x  4 ,
por tanto
0 x  4

Además esta región horizontalmente simple,
empieza en
y  0 y termina en y  2 , en
consecuencia
0 y  2.

Región verticalmente simple

y

Región horizontalmente simple

x

x  y2
x4

R
y

R

x

Figura. 4

Figura. 5

Orden dx dy

Orden dy dx
0 y 

y2  x  4

x

0 y  2

0 x  4...