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Matemática

PRIMERAS APLICACIONES DE LA DERIVADA

La interpretación geométrica de la derivada nos permitió calcular la pendiente de la recta
tangente a la curva en un punto. Abordaremos ahora, algunas aplicaciones de la derivada
en los que interesa conocer no sólo como varía una magnitud respecto de otra, sino
conocer cuan rápido se produce esa variación, esto es, la velocidadde variación de una
variable con respecto a otra.

Velocidad y
aceleración

Supongamos que un objeto se mueve sobre la recta numérica de acuerdo con la ecuación
2
f(t) = t donde f es la función de posición del objeto a través del tiempo. Supongamos
también que f(t) se mide en metros y t en segundos.


En el instante t1 = 1 la posición del objeto es f(1) = 1, lo que quiere decir que en un
segundo,recorrió un metro.



En el instante t2 = 3, la posición del objeto es f(3) = 3 = 9, o sea que a los 3
segundos el objeto recorrió 9 metros.

3

El objeto empleó 2 segundos, t2 – t1 segundos, en recorrer una distancia de 8
metros, (9 – 1) metros = 8 metros.
La distancia recorrida la podemos expresar mediante:
f(3) – f(1) = f(t 2) – f(t1)
Si calculamos el cociente entre la distancia recorrida yel tiempo empleado en
recorrerlo hallamos la velocidad media en que el objeto se desplazó en este
intervalo de tiempo.
Velocidad Media =

dis tan cia recorrida
tiempo empleado

Para el objeto del ejemplo, la velocidad media durante 2 segundos es:

f( t2 ) f( t1)
(9 1)m
8m


4m / seg
t2 t1
(3 1)seg 2seg
Lo que significa que, en promedio, el objeto recorrió 4 metros, cada segundo
durante eseintervalo.
Volvamos a la posición en que estaba el objeto al segundo de empezar a desplazarse sobre
la recta. (t1 = 1, f(t) = 1) y calculemos la velocidad media un segundo después, para t2 = 2.
2

En este caso es f(t2 ) = 2 = 4.
Por lo que la velocidad media es:
f( t 2 ) f( t 1 ) ( 4 1)m
3m


3m / seg
t 2 t1
(2 1)seg 1 seg
Consideramos intervalos de tiempo cada vez más pequeños, de modo quet2 = t1 + h,
donde h es un incremento del tiempo cada vez más pequeño e igual a t 2 – t 1

UBA XXI – MÁTEMATICA - Aplicaciones de la derivada_1

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Por ejemplo, si h = 0,1; t2 = t1 + h = (1 + 0,1)seg = 1,1 seg.
2

En ese intervalo, la distancia que recorrió el objeto es f(1,1) = 1,1 = 1,21.
Y volvamos a calcular la velocidad media:

f( t 2 ) f (t 1 ) (1,21 1)m0,21 m


2,1 m / seg
t2 t 1
(1,1 1)seg 0,1 seg
Si hacemos cada vez más pequeños los intervalos de tiempo, nos acercamos cada vez más
a la velocidad que tenía el objeto en el instante t1 = 1. Lo mostramos en la tabla:
t2

h = t2 – t1

f(t2 ) – f(t1 )

0,1
0,01
0,001
0,0001

0,21
0,0201
0,002001
0,00020001

1,1
1,01
1,001
1,0001

f (t 2 ) f (t 1)
t 2 t 1

2,1
2,01
2,001
2,0001

La tabla nossugiere que cuanto más pequeño sea el intervalo de tiempo, esto es cuanto
más próxima a cero sea la longitud del intervalo, la velocidad promedio tiende cada vez más
a 2 m/seg.
h = t2 – t1  0, la velocidad media  2 m/seg
Si en la expresión de la velocidad media

f( t2 ) f (t1 )
t 2 t1
sustituimos t2 por t1 + h, y t 2 – t 1 por h, resulta:
Velocidad media =

f( t1 h ) f( t1 )

Podemos definir lavelocidad instantánea como:

lím

h 0

h

f (t 1 h ) f( t1 )
h

Calculemos la velocidad instantánea del objeto que se mueve sobre la recta de acuerdo con
2
f(t) = t , la velocidad en el instante t1 = 1.
f (1 h ) f(1)
lím
h 0
h
Donde:
2
2
 f(1 + h) = (1+h) = 1 + 2h + h
2
 f(1) = 1 = 1
Reemplazando en la fórmula:
2

f(1 h ) f(1)
(1 2h h ) 1
lím
h 0
h
h 0
h
lím

2h h 2
h(2 h )
límlím 2 h 2
h
h
h 0
h 0
h 0

lím

Por lo que la velocidad del objeto en t = 1 es de 2m/seg, lo que confirma nuestra suposición.

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En general, si f = f(t) es la función de posición de un objeto en movimiento, su velocidad
instantánea (o simplemente velocidad) en el tiempo t es

v( t) lím

h 0

f ( t h...