6A radiación. electrodinámica

Apuntes de Electrodinámica. Tema 6

RADIACIÓN
As ondas electromagnéticas propáganse independentemente das fontes, pero son xeneradas por elas no proceso que chamamos radiación. A información necesaria pra describir este proceso está nas ecuaciós de ondas con fontes (1.38). Nos potenciales estáticos
r´ V´ r R

g (r´, t´)

φ=

ψ (r, t)
S´

dv ′ 4πε 0 ′ R V µ0 J A= dv ′ 4π ′ R

1

∫ρ

∫

V

Fig.6.1 tempo remoto

supóñense cargas ρ (r´) e correntes J (r´) que son función dos puntos fonte r´, sin facer mención ó tempo. Na representación de Lorentz (1.43) estas ecuaciós son válidas, como veremos, ó introducir a dependencia temporal ρ (r´, t´) e J (r´, t´), sendo o

t′ =t −

R c

(6.1)

un certo instante, dependente de r, r´ e t, anterior ó tempo t en que sedan os potenciales 1.

POTENCIALES RETARDADOS Trátase de resolver a ecuación inhomoxénea

∇ 2ψ −

1 ∂ 2ψ = −g . c 2 ∂t 2

(6.2)

onde supoñemos que a densidade de fonte g é nula fóra dun volumen V´ e dun intervalo temporal finito. É dicir, dados r e t xenéricos, obter ψ (r, t) a partir da distribución de “fontes” g (r´, t). Polo teorema de Green,
V′

∫ (ψ ∇′ ϕ − ϕ ∇′ ψ ) dv′ = ∫ (ψ∇′ϕ − ϕ ∇′ψ )⋅ da′ ,
2 2 S′

supoñendo ψ, g e ϕ expresados nas coordenadas con prima. Fagamos ϕ (r ′, t ′) = Demóstrase que

1  R f  t ′ +  , con f derivable dúas veces, pero arbitraria, por agora. R  c

∇ ′ 2ϕ −

1 ∂ 2ϕ = −4πϕ Rδ (R ) c 2 ∂t ′ 2

(6.3)

1

En definitiva esta relación expresará o principio de causalidade. 1

Apuntes de Electrodinámica. Tema 6

Supoñamos (fig. 1)que V´ é o interior da superficie S´. Usando (6.2) e (6.3):

1  ∂ 2ϕ R ∂ 2ψ     − 4πψ (r ′, t ′) f  t ′ + δ (R ) + ϕ g + 2 ψ 2 − ϕ 2   dv′ = c c  ∂t ′ ∂t ′     V′

∫

= −4πψ (r, t ′) f (t ′) +

V′

∫ f  t ′ + c  R dv ′ + c   ∫



R g

1 d  ∂ψ ∂ϕ  −ψ ϕ  dv ′ = 2 dt ′  ∂t ′ ∂t ′ 

∫

V′

ˆ ˆ   1 R R R R R =  −ψ 2 f  t ′ +  + ψ f ′ t ′ +  −f  t ′ +  ∇′ψ  ⋅ da′ =         c  cR c R  c R     S′

∫

= (ψ ∇′ϕ − ϕ ∇′ψ ) ⋅ da′
S′

Agora fagamos tender f á delta de Dirac

f (t ′) = δ (t ′ − t )
e integremos no tempo entre −∞ e ∞:

 R  g (r ′, t ′)     − 4πδ (t ′ − t )ψ (r, t ′) + δ  t ′ + − t  dv ′  dt ′ +  c  R    − ∞ V′ 

∫

∞

∫

1 + 2 c

∫ ∫
−∞ V

∞

d  ∂ψ ∂ϕ  −ψ ϕ dv′dt′ = dt ′  dt ′ dt ′  ′

∫∫ (ψ ∇′ϕ − ϕ ∇′ψ )⋅ da′dt ′
−∞ S ′

∞

En t´ = ±∞ ϕ e ∂ϕ /∂ t´ son cero, polo tanto a terceira integral é cero. En canto á integral de superficie, cambiando o orden de integración,

∞     (ψ ∇′ϕ − ϕ ∇′ψ ) dt ′ ⋅ da′ =  S ′ −∞   ˆ ˆ   R  R  R  R R  1     = −ψ 2 δ  t ′ + − t  + ψ δ ′ t ′ + − t  − δ  t ′ + − t  ∇′ψ  ⋅ da′ = c  cR c  R c  R      S′ 

∫ ∫

∫

ˆ  ˆ  R ∂ψ 1  R  = − 2 ψ − 2 − ∇ψ  ⋅ da ′ R ∂ t′ R  R  R    t−  S′

∫



c

O término que contén δ´ intégrase por partes. Se a superficie S se pón a unha distancia suficientemente grande, como as fontes son nulas fóra dun intervalo temporal limitado, o pódese facer cero 2, logo a integral tamén. En definitiva, temos

− 4πψ (r, t ) +Logo:

∫
V′

g (r ′, t − R c ) dv ′ R

ψ (r, t ) =

1 g (r ′, t − R c ) dv ′ ∫ 4π V ′ R

2

Estrictamente, sería aceptable calquera solución de (6.2) con g = 0 (ecuación homoxénea). 2

Apuntes de Electrodinámica. Tema 6

O potencial ψ obtense de igual maneira ca o potencial electrostático, pero integrando as fontes nun momento anterior t´ = t − R/c dependente da distancia R = |r −r´|. Chámase por esto potencial retardado. Omitindo as coordenadas, a relación escríbese da forma máis compacta:

ψ=
sendo [g](r´, r, t) = g (r´, t − R/c).

1 4π

V′

∫ R dv ′

[g ]

(6.4)

Con campos g de variación sinusoidal expresados en notación complexa,

[g ] fís (t ′) = g fís (t − R c ) = Re{ geiω (t −R c ) } = Re{ ge −ikR e −iωt }
[g ] = ge −ikR
(6.5)

de onde...