7 Distribucion Normal

7. Distribución normal
Sin duda, la distribución continua de
probabilidad más importante, por la
frecuencia con que se encuentra y
por sus aplicaciones teóricas, es la
distribución normal, gaussiana o
de Laplace-Gauss.
Fue descubierta y publicada por
primera vez en 1733 por De Moivre.
A la misma llegaron, de forma
independiente, Laplace (1812) y
Gauss (1809), en relación con la
teoría de loserrores de observación
astronómica y física .
Anatoli Timoféyevich Fomenko
Gaussian Distributions I and II

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Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de
una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen,...
Caracteres fisiológicos, porejemplo: efecto de una misma dosis de un
fármaco.

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.
Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de
muchos factores. 
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson se aproximan
a la normal. Distribuciones binomiales con n grande (n >30) y p ‘ni pequeño’ (np > 5)
2
‘ni grande’ (n (1-p) > 5 ).

Distribución normal o gaussiana
• Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la
desviación típica, σ.
• Su función de densidad es:

1
N (μ, σ) P ( x) 
e
σ 2π

( x  μ) 2
2σ 2

(σ  0)

La curva normal adopta un número infinito de formas,
determinadas por sus parámetros μ y σ.
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Características de la distribución Normal
Tiene forma de campana, es asintótica al ejede las abscisas (para x =  )
Simétrica con respecto a la media () donde

coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo).
Los puntos de inflexión tienen
como abscisas los valores  

.

Puntos
de
inflexión







 -  , Mo, Mn  + 

4

+

Distribución normal con =0 para varios valores 

1.6



1.2




p(x)

0.8

0.4

0
-2.50

-1.50

-0.50

0.50
x

1.50
5

2.50

1
N (μ, σ) P( x) 
e
σ 2π

( x  μ) 2

2σ 2

(σ  0)

 5

 5

 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Curvas normales con distintas medias y desviaciones
estándar.
6

N(μ, σ): Interpretación geométrica
• Podemos interpretar la
media como un factor de
traslación.
• Y la desviación típica
como un factor de escala,
grado de dispersión,…

7

N(μ, σ): Interpretación probabilista
• Entre lamedia y una
desviación típica
tenemos siempre la
misma probabilidad:
aproximadamente el
68%.
• Entre la media y
dos desviaciones
típicas aprox. 95%

• Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…
– a distancia σ,
– a distancia 2 σ,
– a distancia 2’5 σ

 tenemos probabilidad 68%
 tenemos probabilidad 95%
 tenemos probabilidad 99%

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1
N (μ, σ) P ( x) 
e
σ 2π

( x  μ) 2

2σ2Podemos obtener la función de
distribución F(x) integrando la
función de densidad de probabilidad:

1
F ( x) 
σ 2π

x

e

( v  μ) 2

2σ 2

dv



De modo que la probabilidad de una
variable aleatoria normal X en un
intervalo a  x  b es:
b


1
P(a  X b) F (b)  F (a ) 
e

σ 2π a

En particular:

1
σ 2π



e

( v  μ) 2

2σ 2

( v  μ) 2
2σ 2

dv

dv 1



¡No podemos calcularanalíticamente el valor de la integral!
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Tabularemos sus valores numéricos...

¿Cómo calcular probabilidades asociadas
a una curva normal específica?
Dado que tanto  como  pueden asumir infinitos valores, es
impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles
distribuciones normales. Para solucionarlo, se utiliza la
distribución normal reducida o tipificada.
Se define una variablez

=

x -


Es una traslación , y un cambio de escala de
la variable original.
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La nueva variable z se distribuye como una

NORMAL con media  = 0 y desviación típica  = 1
Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las
probabilidades delimitadas entre :

   68 %
 2  95 %
 3  99 %

95%
68%
99%
68%
95%
-3

-2

-1

99%
0

z
1

2
11

3

Tipificación
• Dada una variable...