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Tablas y Fórmulas Estadísticas

TABLAS Y FORMULAS
ESTADISTICAS

Carlo Magno Araya
Profesor de Estadística
Sede de Occidente
Universidad de Costa Rica

1

Tablas y Fórmulas Estadísticas
MEDIDAS DE POSICION
Datos sin agrupar

Datos agrupados

Promedio aritmético de muestras
k
n

∑ xi fi

∑ xi

x=

x =

i =1

∑ fi

n

i =1

Promedio ponderado
n

Mediana

∑ x i wi

x=

i=1
k

i =1
n

∑ wi

n

 -F i-1 
2
*c
M e = Li + 
f


i



i =1

Mediana para n impar

M e = X  n +1 


 2 

Moda

 d1 
*c
M o = Li + 
 d 1+ d 2 
d 1 = f i − f i −1
d 2 = f i − f i +1

Mediana para n par

Percentiles

X  n + X  n
Me =


 +1
2 

 
 2

2

 m.n

- F i-1 

100
*c
P m = Li + 
fi





Percentiles

Pm = X 

m

 100 ( n + 1) 



Media geométrico

n
x g = x 1 . x 2.... x n

Media armónica
xa =

n
n

∑
i=1

1
xi

2

Tablas y Fórmulas Estadísticas
MEDIDAS DE VARIABILIDAD
Datos sin agrupar
Datos agrupados
Variancia de una muestra
1 k
1 n
2
2
∑ ( xi − x ) 2 . f i
s
=
sx2 =
x
−
x
∑( i
)
x
n
−
1
i
=1
n − 1 i =1
2

n  
x
n
∑  
1  2  i =1 i  
2
sx =
∑ xi −
n − 1 i =1
n 





2

k
 
 ∑ xi f i  
k
 i=1
 
1 
sx2 =
. ∑ x2 f 
n - 1 i=1i i
n





Variancia de la población

1 N
2
σ x2 = ∑ ( xi − µ )
N i =1
2

N  
N
 ∑ xi  

 
1
σ x2 = .  ∑ xi2 - i=1

N i=1
N 





Coeficiente de variación de una
población

CV x =

σx
* 100
µ

σ 2x =

2
1 k
∑ xi − µ . f i
N i =1

(

)

2

k
 
 ∑ xi f i  
k
 i=1
 
1
σ 2x = .  ∑ xi2 f i 
N i=1
N





Coeficiente de variación de
una muestra
sx
CV x = * 100
xDesviación media
k

n

∑ | xi - x|. f i

∑ | xi - x|
D. M.=

i=1

D. M.=

n

i=1

k

∑ fi

i=1

Medida de variabilidad para muestras
pareadas
s2d =

1  n 2
. ∑ di
n -1 i=1 

di = X 1i - X 2i

Variancia para variables
dicotómicas
σ 2 = PQ

$$
s 2 = pq

3

Tablas y Fórmulas Estadísticas
INDICE DE PRECIOS
Relativo simple de precios
p
I = n ⋅ 100
p0

Agregado simple de precios
k

∑ pn

i =1
kI=

⋅ 100

∑ p0

i =1

Promedio de los relativos simples de precios
k  p 
∑ n 
i =1 p 0 
I =
⋅ 100
k

Laspeyres

I PL =

Laspeyres

I QL =

Índices de precios ponderados
Paasche

∑ pn q o
⋅ 100
∑ po q o

I PP =

∑ pn q n
⋅ 100
∑ po q n

Índices de cantidades ponderados
Paasche

∑ po q n
⋅ 100
∑ po q o

I QP =

∑ pn q n
⋅ 100
∑ pn q o

Indice de precio de Fischer

 ∑ pn q0   ∑ pn qn 
 ⋅ 100
I PF = 
 ∑ p0 q0   ∑ p0qn 

4

Tablas y Fórmulas Estadísticas
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
Población finita
Población infinita
Variancia del promedio

N - n s 2x
.
N -1 n
N - n σ 2x
2
=
.
σx
N -1 n

s2x =

s2x =

σ 2x =

s2x
n

σ 2x
n

Variancia de una proporción

s 2p$ =

$$
N - n pq
.
N -1 n

s2p$ =

$$
pq
n

PQ
N - n PQ
.
σ 2p$ =
n
N -1 n
Tamaño de muestra para la estimación
De unpromedio y una proporción poblacional

σ 2p$ =

n1
n=
n
1+ 1
N
n1
n=
n
1+ 1
N

 Zα / 2 σ 

donde n1 = 
d 

2

 Z α / 2 PQ 

donde n1 = 

d



Z σ
n =  α/2 
 d 

2

2

 Z α / 2 PQ 

n = 

d



2

Intervalos de confianza para el promedio cuando
la variancia de la población es conocida

σx
N -n σx
*
Li = x ± Zα /2*
N -1
n
n
Intervalos de confianza para el promedio cuando lavariancia
de la población es desconocida y n≤
≤30
N - n sx
sx
*
Li = x ± t α / 2(n-1)gl *
Li = x ± t α / 2(n-1)gl *
N -1
n
n
Li = x ± Z α / 2 *

Intervalos de confianza para una proporción si np>5 y nq>5
$$
N -n
pq
$$
pq
*
Li = p$ ± Z α / 2 *
$ ± Zα / 2*
=
p
L
i
N -1
n
n

5

Tablas y Fórmulas Estadísticas
ESTADISTICO PARA PRUEBA DE HIPOTESIS
Promedios
Para un promedio: variancia conocidaProporciones
Para una proporción

x-µ

Zc =

Zc =

σ

p$ - P
PQ
n

n

Para un promedio: variancia
desconocida
x-µ
tc =

Diferencia de proporciones
p$ 1 − p$ 2
p$ 1 q$1 p$ 2 q$ 2
+
n1
n2

Zc =

s
n

Diferencia de dos promedios: variancia Otra alternativa de cálculo:
x1 x 2
conocida
−
x1 - x 2

Zc =

σ 12
n1

+

Zc =

σ 22
n2

n1

 1
1
p(1 − p) − 
 n1 n 2 

p=

Diferencia de dos promedios:...