Acotacion y separacion de raices

Acotación de raíces: Método de Laguerre-Thibault
Para un polinomio p ∈ C[x] dado, no siempre es sencillo hallar con exactitud sus raíces. Si el polinomio p tiene raíces reales, entonces el método de Laguerre-Thibault permite encontrar intervalos de la forma [ℓ, L] de manera que todas las raíces de p pertenezcan a ese intervalo. Un número real L se dice cota superior de las raíces reales de p sitoda raíz real de p es menor o igual que L. Es decir, si α ∈ Rp ∩ R ⇒ α ≤ L. Un número real ℓ se dice cota inferior de las raíces reales de p si toda raíz real de p es mayor o igual que ℓ. Esto es, si α ∈ Rp ∩ R ⇒ ℓ ≤ α. Observemos que si L es cota inferior y ℓ una cota inferior de las raíces reales de p, entonces, Rp ∩ R ⊆ [ℓ, L].
Teorema 1. Sea p un polinomio a coeficientes reales, de gradomayor o igual a 1. Supongamos L ∈ R + 0 es un número de manera que el cociente c(x) y el resto R de dividir p por (x−L) tienen todos sus coeficientes NO negativos, entonces L es cota superior de las raíces reales de p.
Sea p ∈ R[x] y L un número real positivo o cero, es decir L ∈ R + 0. Supongamos que p(x) = c(x) (x − L) + R donde c(x) tiene todos sus coeficientes no negativos y R es un número nonegativo. Observar que R es un polinomio constante. Debemos probar, bajo estas hipótesis, que toda raíz real de p es menor o igual que L. O lo que es equivalente, si α > L entonces p (α) 6= 0; es decir, ningún número mayor que L es raíz. Sea α > L ≥ 0, evaluamos p en α (1) p (α) = c (α) (α − L) + R Notemos que, como todos los coeficientes de c son no negativos y α es positivo entonces c (α) > 0.Además, α − L > 0 por cómo fue elegido α; y R ≥ 0. Entonces en (1) tenemos: (2) p (α) = c (α) | {z} >0 (α − L) | {z} >0 + R | {z} ≥0 > 0. Luego, p (α) > 0 y α no es raíz. Veamos unos ejemplos para aprender a utilizar este resultado. Ejemplo 2. Sea p(x) = 2x 3 − 10x + 1; aplicar el teorema anterior para dar una cota superior de las raíces reales de p. Observemos que este polinomio tiene grado 3 y es acoeficientes reales, entonces tiene al menos una raíz real.


Aplicamos de manera directa el teorema anterior. Tomamos un candidato L = 1 y realizamos la división de p por x – 1:

Como el coeficiente -8 es negativo, este L propuesto no nos servir ‘a para aplicar el Teorema. Pues para L = 1 el cociente c(x) tiene un coeficiente negativo, por lo que no podremos concluir nada. Proponemos ahora L = 3 yefectuamos la división por (x − 3):

En este caso si nos sirve pues c(x) = 2x 2 + 6x + 8 con todos sus coeficientes positivos y R = 25 > 0. Afirmamos entonces que toda raíz de p es menor o igual a 3: α ∈ Rp ⇒ α ≤ 3. Notemos que en el ejemplo anterior q tiene coeficientes enteros, por lo que podríamos utilizar el Teorema de Gauss para hallar sus raíces racionales; α = r s es raíz racional,entonces r divide a 1 y s divide a 2. Luego, si q tiene raíces racionales, ´estas son ±1, ± 1 2. Al evaluar q en estos candidatos a raíces, vemos que no se anula q en ninguno de ellos. Podemos concluir que q NO tiene raíces racionales. Ejemplo 3. Estudiar las raíces de p(x) = x 5 + 2x 4 − 5x 3 + 8x 2 − 7x − 3. Este polinomio tiene coeficientes enteros, por lo que podríamos utilizar el Teorema de Gausspara hallar sus raíces racionales; α = r s es raíz racional, entonces r divide a 3 y s divide a 1. Luego, si p tiene raíces racionales, ´estas son ±1, ±3. Al evaluar p en estos candidatos a raíces, vemos que no se anula p en ninguno de ellos. Podemos concluir que p NO tiene raíces racionales. El polinomio p tiene grado 5, por lo tanto tiene al menos una raíz real; por el párrafo anterior, sabemosque las raíces reales son irracionales. Usaremos el Teorema 1 para hallar una cota superior de las raíces reales de p. Proponemos L = 1 y dividimos p por x − 1:




No continuamos con la división pues ya encontramos un coeficiente del cociente que es negativo. Proponemos un L mayor, L = 2:

¡Perfecto! L = 2 es cota superior de las raíces reales de p. Esto es: α ∈ Rp ⇒ α ≤ 2. En este ´último...