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Semana 8

Productos notables

Semana 8

Productos notables

En esta sesión seguimos
avanzando y profundizando en los contenidos
matemáticos más especializados, este es el caso
de los productos notables. Dedicaremos esta semana a construirlos y utilizarlos como
herramienta para el tratamiento de expresiones algebraicas, aunque los abordaremos
también desde la aritmética y lageometría.
Es requisito indispensable manejar con facilidad la multiplicación de polinomios y
tener claros ciertos términos como binomios y trinomios, propiedades de potencia
y cálculo de áreas, por lo que será muy conveniente que revises los módulos de los
semestres anteriores.

Iniciemos con este interesante problema: un árbol mide 32 metros de altura. Un día
lo parte un rayo. El trozo roto quedaapoyado en el suelo formando un triángulo de 16
metros de base. ¿A qué altura se partió el árbol?

Productos notables
Los productos notables son regularidades matemáticas que aparecen en los desarrollos de multiplicaciones entre expresiones. Se pueden clasificar en diferentes tipos
y estudiar su comportamiento al efectuar las operaciones.

Clasificación de productos notables
1. Cuadrado deuna suma o productos de la forma (a+b)2
Para saber a qué equivale la expresión (a+b)2, tomemos como referente la figura 51
¿a qué se corresponde (a+b)2 en la figura? ¡Muy bien! al área del cuadrado.
b

ab

b2

a

a2

ab

a

(a+b)

b
Figura 51

Si miras bien la figura, te darás cuenta que hay dos formas posibles de hallar el
área.

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Semana 8

Productos notables·

Cómo la figura es un cuadrado, para calcular el área hay que elevar el lado (a+b)
al cuadrado, es decir (a+b)2

·

Calcular el área por separado de cada parte y sumar, con lo que resulta
a2+ab+ab+b2

Por consiguiente, su área es (a+b)2 y es igual a la suma de las áreas de la figura en que
está dividida. Por tanto:
(a+b)2
Área del
cuadrado
(a+b)

=

a2
Área
cuadrado
lado aab

+

ab

+

Área
rectángulo

+

Área
rectángulo

b2
Área
cuadrado
lado b

Reduciendo términos semejantes obtenemos:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Segundo término
Primer término

Esta igualdad se expresa diciendo que el cuadrado de una
suma es igual al cuadrado del primer término (a2), más el doble
del primero por el segundo (2ab), más el cuadrado del segundo término (b2).Observa los siguientes ejemplos: Halla el cuadrado de la suma.
1. (5x+7) 2
·

El cuadrado del 1er término es (5x) · (5x) = (5x)2 = 25 x2

·

El doble producto de ambos términos es 2 · (5x) · (7) = (10x) · (7) = 70x

·

El cuadrado del 2do término es 7 · 7= 49

Entonces (5x + 7)2= 25 x2 + 70x + 49
2. (x + 9)2 = x2 + 18x + 81 Justifica el resultado.

Recuerda que multiplicar unnúmero por sí
mismo, es igual que elevar el número al cuadrado, así por ejemplo, a.a= a2. Con esta idea
en mente, puedes inferir que (5x+7)·(5x+7) =
(5x+7)2; es decir, cualquiera de los dos miembros de la igualdad representa el cuadrado de
una suma.
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Productos notables

Semana 8

Si resolvemos este producto (3x+5)(3x+5) de binomios como lo aprendimos en la
multiplicación depolinomios, se hace extenso. Fíjate en el ejemplo. Pero si aplicamos
la igualdad (a+b)2, obtenemos directamente 9x2 + 30x + 25, (3x+5)(3x+5) = 3x ·(3x+5)
+ 5 · (3x+5) = 9x2 + 5x + 15x + 25 = 9x2 + 30x + 25
2. Cuadrado de una diferencia o productos de la forma (a-b)2
Para hallar el desarrollo de este producto podemos hacer uso de la geometría o del
álgebra. Analicemos éste mediante el álgebra.Tenemos que (a-b)2 = (a-b) · (a-b). Resolviendo este producto de polinomios obtenemos: a(a-b) - b(a-b)= a2 - ab - ba + b2. Agrupando los términos semejantes nos queda
a2 - 2aba + b2, así que (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
Fíjate que esta igualdad es similar a la anterior, sólo que difiere en el signo. Escribe el
enunciado para esta igualdad.
Observa los siguientes ejemplos: Hallar el cuadrado de la...