Actuadores Termicos

Cap´
ıtulo 16
Ecuaci´n de Lagrange
o
16.1

Introducci´n a las ecuaciones de Lagrange
o

La mec´nica que nos presenta Lagrange en su M´canique Analytique significa un
a
e
salto conceptual muy grande respecto de la formulaci´n Newtoniana. El concepto
o
de fuerza, central en el tratamiento dado por Newton, pr´cticamente desaparece
a
de la escena. En las pr´ximas clases nos iremosdespidiendo de ´l, y s´lo aparecer´
o
e
o
a
espor´dicamente. Poco a poco ser´ reemplazado por la idea de funci´n potencial
a
a
o
en el marco de un tratamiento que podr´
ıamos llamar energ´tico.
e
Lo que quiero ahora es dar algunos pasos que nos acerquen a la dif´ formuıcil
laci´n de Lagrange de la Mec´nica. Consideremos el movimiento de una part´
o
a
ıcula
en un plano bajo la acci´nde una fuerza F. Escribimos la ecuaci´n de Newton
o
o
en coordenadas polares:
˙
mr − mrθ2 = F.ˆ
¨
r
¨
ˆ
mrθ + 2mrθ = F.θ
˙˙
Queremos construir una formulaci´n energ´tica, en el sentido de que podamos
o
e
partir de la energ´ cin´tica
ıa
e
1
˙
T = m r2 + r2 θ2
˙
2
y llegar a las ecuaciones de Newton, por medio de alg´n operador D tal que, por
u
˙2 . Notablemente, esta no esuna tarea muy complicada.
ejemplo, DT = mr − mrθ
¨
Trabajando un poco dicho t´rmino,
e
d
d
˙
(mr) −
˙
mr − mrθ2 =
¨
dt
dr

d
1 2 ˙2
mr θ =
2
dt

d
dr
˙

12
mr
˙
2

−

∂
∂r

1 2 ˙2
mr θ
2

podemos escribir la componente radial de la ecuaci´n de Newton en t´rminos de
o
e
la energ´ cin´tica como
ıa
e
d
dt

∂T
∂r
˙

−

∂T
∂r
= F.
∂r
∂r

12

Cap´
ıtulo 16. Ecuaci´n de Lagrange
o

Un c´lculo similar permite demostrar que la componente angular de la ecuaci´n
a
o
de Newton es equivalente a
d
dt

∂T
˙
∂θ

−

∂T
∂r
= F.
∂θ
∂θ

Bueno, parece que hemos encontrado algo interesante. Podemos escribir ambas
como una sola, en t´rminos de la coordenada q = r ´ θ,
e
o
d
dt

∂T
∂q
˙

−

∂T
∂r
= F.
∂q
∂qEsta es la em ecuaci´n de Lagrange, con la cual trabajaremos de aqu´ en adelante
o
ı
ad nauseam. La demostraci´n que hemos hecho es completamente correcta, pero
o
deja en el tintero un aspecto muy importante. Aqu´ hemos trabajado con una
ı,
unica part´
´
ıcula, donde la fuerza F incluye “todas” las interacciones que act´an
u
sobre ella, incluidas las fuerzas de v´
ınculo. Perod’Alembert ya hizo el gasto de
eliminar las fuerzas de ligadura de la mec´nica, y no ser´ muy astuto de nuestra
a
ıa
parte ignorar este resultado. Ahora vamos a deducir las ecuaciones de Lagrange a
partir del Principio de d’Alembert, demostrando que aquellas valen para todo el
sistema (no s´lo una part´
o
ıcula) y para cualquier coordenada generalizada q compatible con los grados de libertad delsistema, sin tener en cuenta expl´
ıcitamente
las fuerzas de v´
ınculo.

16.2

Ecuaciones de Lagrange

Trabajaremos sobre la ecuaci´n de d’Alembert para un sistema arbitrario de N
o
part´
ıculas
N
dpi
Fi −
.δ ri = 0
dt
i=1
Recordemos que con esta ecuaci´n hemos logrado desembarazarnos de las fuerzas
o
de ligadura, pero pagando el precio de que los sumandos de dicha ecuaci´n yao
no son independientes, puesto que -habiendo un cierto n´mero k de ligaduras
u
hol´nomas- ahora no son independientes las variaciones ri . Ahora vamos a salvar
o
esta dificultad, escribiendo la ecuaci´n de d’Alembert en t´rminos de las 3N − k
o
e
1
coordenadas generalizadas qj del sistema , en funci´n de las cuales las antiguas
o
coordenadas ri est´n dadas por
a
ri = ri (q1 , ...,q3N −k , t)
1

La elecci´n de las 3N − k coordenadas generalizadas de un sistema no es unica, por lo cual
o
´
tampoco son unicas las ecuaciones de Lagrange.
´

16.3. Demostraci´n de las ecuaciones de Lagrange
o

3

Nuestro objetivo es demostrar que, en t´rminos de estas coordenadas generale
izadas, que el principio de d’Alembert se puede escribir como
3N −k
j =1

d
dt

∂T...