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Óptica geométrica
Ecuación del espejo esférico (aproximación paraxial)

1+1 = 1 a b f
R < 0: espejo cóncavo R > 0: espejo convexo P

con f = −

R 2

f, distancia focal: punto donde convergen los rayos que vienen desde el infinito.

l1

A α R α l2 o Q b
a

Refracción en superficie esférica:

n1 n2 n2 − n1 + = s o si R
Largo del Camino Optico (LCO)=

lo n1 so

θi

θr

vR ϕθt n2 si

li

lo n1 + li n2

d (LCO ) =0 dϕ

Lentes delgadas
Introducción: _ Una lente es un sistema óptico formado por dos o más interfases refractoras, donde al menos una de estas está curvada. _ Nos limitaremos a sistemas centrados, es decir, sistemas que tienen simetría de revolución. Deducción de la ecuación de las lentes (n2 > n1) s n2 P

n1

s

n1 s

n2

n1 n2 − n1< ⇒ si > 0 imagen real so R n1 n2 − n1 = ⇒ si = ∞ imagen en el infinito so R n1 n2 − n1 > ⇒ si < 0 so R

P’

imagen virtual

n1

n2

P’ S C2 R2 nm S01 Si1 S02

V1 nl

V2 C1 R1 nm d Si2

P

nl: índice de refracción de la lente nm: índice de refracción del medio (ej. aire) 1ª superficie: los rayos paraxiales que parten de S (en S01) se encontrarán en P’ a una distancia Si1 de V1.nm nl n − nm + = l S 01 S i1 R1

(1)

tengamos en cuenta que: S 02 = S i1 + d  2ª superficie

 S i1 = − S i1  S 02 = S 02

nl n n − nl + m = m S 02 S i 2 R2 nl n n −n + m = m l (− Si1 + d ) Si 2 R2

(2)

R2 < 0 ; nl > nm
Sumando las ecuaciones (1) y (2)

nm nm nl − nm nm − nl nl n + = + − − l (d − Si1 ) Si1 S 01 S i 2 R1 R2
  nm nm nl d + = (nl − nm ) 1 − 1  +  R R  (S− d )S S 01 S i 2 2  i1 i1  1
-- lente delgada ⇒ d → 0 -- lente inmersa en el aire: nm = 1

1 + 1 = (n − 1) 1 − 1   l  R R  “Fórmula del fabricante”  S 01 S i 2 2   1
También se ve fácilmente de esta ecuación:

lim So = f o ; lim Si = f i ,
S i →∞ S o →∞

  1  − 1  , donde f o = f i = (nl − 1) R R  2   1 
con lo que podemos eliminar los subíndices y llegamos a lafórmula gaussiana para lentes delgadas:

−1

1 + 1 = 1 S 0 Si f
Ej. Distancia focal de una lente plano-convexa en aire R1 = ∞, R2 = -50 mm, nl = 1.5

   f = (nl − 1) 1 − 1  R R  2   1 

−1

  = (1.5 − 1) 1 − 1     ∞ − 50  

−1

= 100 mm

También vale: Si R1 = 50 mm; R2 = ∞ ⇒ f = 100 mm Óptica Gaussiana por el método matricial A los Rayos se les asocia unvector de α d

d  r =  α   

la forma: Eje óptico

Rayos paraxiales significa que los rayos que estamos considerando forman un pequeño ángulo con el eje óptico del sistema, así podemos aproximar sin α ≈ tgα ≈ α 0 R20

M sup .esférica

 1 =  n1 − n2   Rn2

0  n1   n2 

Matriz de lentes delgadas: n1 R2 n2 R1

R1 > 0 R2 < 0

M l .d . M l .d .

1   − (n1 − n2 ) = R2 n1 0  1 =  −1 f 1    

0  1 n2  n1 − n2  n1  R1n2

0   n1  =    n2  

( )(
n1 − n2 n1

1
1 R1 1 −R
2

)

0  1 

Ejemplos: Deducción de la ecuación de las lentes: un objeto P se encuentra a una distancia a delante de una lente. ¿Dónde se encuentra su imagen Q?
α

a

f

f

b

Para todo rayo que forma un ángulo α saliendo de P y un ángulo βllegando a Q tiene que cumplirse:

 0   1 b  1     β  =  0 1  − 1 f       0  1 − b f  =  β   −1 f   

0  1 a  0     1  0 1  α    

a (1 − b f ) + b  0     α  1− a f  

      1+1= 1 ⇒ d 2 = 1 − b d1 + a1 − b  + b α con d 2 = d1 = 0 ⇒     a b f f  f     
Matriz correspondiente a lentes gruesas: H1 n1 R1 n2d1 h1 f L h2 f d2 R2 H2 n1

De acuerdo a estos parámetros la lente gruesa se puede representar por:

 1 − h2  1   M l.g. =    0 1  − 1 f

0  1 h1    1  0 1   

Ecuación de lentes gruesas:

1 + 1 = 1 a + h1 b + h2 f
a,b: distancia al objeto e imagen respectivamente medidas desde los vertices de la lente. Ec. De Newton: x y = f
2

teniendo en cuenta los...