ajuste

Técnicas Computacionales, Curso 2007-2008. Pedro Salvador

5.- Ajuste de curvas
El ajuste de curvas es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de N pares de
puntos {xi, yi} (siendo x la variable independente e y la dependiente), se determina una
función matemática f(x) de tal manera que la suma de los cuadrados de la diferencia
entre la imagen real y la correspondiente obtenidamediante la función ajustada en cada
punto sea mínima:
⎛ N
⎞
ε = min⎜ ∑ ( y i − f ( xi )) 2 ⎟
⎝ i
⎠
Generalmente, se escoge una función genérica f(x) en función de uno o más parámetros
y se ajusta el valor de estos parametros de la manera que se minimice el error
cuadrático, ε. La forma más típica de esta función ajustada es la de un polinomio de
grado M; obteniendose para M = 1 un ajustelineal (o regresión lineal),
f ( x) = a 0 + a1 x
para M = 2 un ajuste parabólico,

f ( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2
etc..

Por otro lado podemos tener un conjunto de datos multidimensionales; es decir, un
conjunto de N puntos en un espacio k+1-dimensional del tipo { xi(1), xi(2), ..., xi(k),... yi,}.
La función que ajustaremos a estos puntos será una función de k variables
y = f(x(1), x(2),...,x(k))
El ajuste multidimensional más sencillo es considerar una dependencia lineal de la
función respecto a cada una de las variables de que depende; es decir, ajustando una
funcion del tipo

f ( x (1) , x ( 2 ) ,..., x ( k ) ) = a0 + a1 x (1) + a2 x ( 2) + ... + ak x ( k )
de tal manera que se minimice el error cuadrático respecto al conjunto de parámetros
{a0, a1,..,ak}. Es lo que seconoce como ajuste o regresión multilineal.
En esta sección veremos que el ajuste lineal, el de un polinomio de grado M y el ajuste
multilineal se pueden expresar dentro de un mismo formalismo de manera que las
respectivas soluciones al problema se pueden determinar mediante algoritmos
prácticamente análogos.
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5.1. Regresiónlineal
Supongamos que tenemos un conjunto de N puntos en el plano {xi, yi}. El objetivo es
determinar la ecuación de la recta tal que minimiza el error cuadrático
⎛ N
⎞
⎛ N
⎞
ε = min⎜ ∑ ( yi − yicalc ) 2 ⎟ = min⎜ ∑ ( yi − a0 − a1 xi ) 2 ⎟
⎝ i
⎠
⎝ i
⎠
respecto a los parámetros a0 (ordenada al origen) y a1 (pendiente).
Matemáticamente:
N
N
N
∂ε
= ∑ 2( yi − a0 − a1 xi ) = 2∑ yi − 2 Na0− 2a1 ∑ xi = 0
∂a0
i
i
i
N
N
N
N
∂ε
= ∑ 2( yi − a0 − a1 xi ) xi = 2∑ xi yi − 2a0 ∑ xi − 2a1 ∑ xi2 = 0
∂a1
i
i
i
i

Simplificando las ecuaciones anteriores vemos que se debe cumplir que
N

N

i

i

Na0 + a1 ∑ xi = ∑ yi
N

N

N

i

i

i

a0 ∑ xi + a1 ∑ xi2 = ∑ xi yi

o bien, dividiendo ambas ecuaciones por el numero total de puntos e introduciendo
valoresmedios
a0 + a1 x = y
a0 x + a1 x 2 = xy

En forma matricial, podemos escribir

⎛ 1 x ⎞⎛ a0 ⎞ ⎛ y ⎞
⎟⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
2 ⎟⎜
⎝ x x ⎠⎝ a1 ⎠ ⎝ xy ⎠
por lo que determinar los parámetros de la recta se resume a resolver el sistema de
ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas anterior.

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Algoritmo general matricialConsideremos ahora el mismo problema desde otra perspectiva. Vamos a suponer que
los N puntos pueden pasar exactamente por la recta que buscamos. En este caso,
plantearíamos el siguiente sistema N de ecuaciones con 2 incógnitas
⎧a0 + a1 x1 = y1
⎪a + a x = y
⎪ 0 1 2
2
⎨
⎪...
⎪⎩a0 + a1 x N = y N

o bien, en forma matricial
⎛ y1 ⎞
⎛ 1 x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
a
⎛
⎞
x
1
⎜y ⎟
0
⎜
2 ⎟
⎜⎜⎟⎟ = ⎜ 2 ⎟
⎜ ... ... ⎟⎝ a1 ⎠
...
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜y ⎟
⎝ 1 xN ⎠
⎝ N⎠

⎛ 1 x1 ⎞
⎟
⎜
1 x2 ⎟
⎜
A=
⎜ ... ... ⎟
⎟
⎜
⎝ 1 xN ⎠

r r
A⋅ x = y

r ⎛a ⎞
x = ⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝ a1 ⎠

⎛ y1 ⎞
⎜ ⎟
r ⎜ y2 ⎟
y =⎜ ⎟
...
⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝ N⎠

Como ya hemos visto, una manera directa de resolver los sistemas de ecuaciones
expresados en forma matricial es la de multiplicar por la izquierda a ambos...