AL _GUIA_2 _2014

Ing. Química – Ing. en Alimentos – Lic. en Análisis Qcos y Bromatológicos - Año 2014
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ÁLGEBRA LINEAL
GUÍA de TRABAJOS PRÁCTICOS Nº2 – UNIDAD 2
 x 

Ej. Nº 1:. Sea E =  1   R 2 / x1 , x 2  R   . Se definen las operaciones:
 x 2 

 x1   y1   x1 y1 
x  x 
      
 y   1    1 


 x2   y 2   x2 y 2 
 x2   x2 

Verifique si E, con estas operaciones, es un espacio vectorial.
Ej. Nº 2: Pruebe si R2 con las operaciones definidas a continuación, es un espacio vectorial.
 x   y   x  y1 
 x   x 
 y   1    1 
a)  1    1    1
 x2   y 2   x2  y 2 
 x2   0 
 x   y   x  y2 
x  x 
 y   1    1 
b) 1    1    1
 x2   y 2   x2  y1 
 x2   x2 

 x   y   x  y1 
 y
c)  1    1    1
 x2   y 2   x2  y 2 

 x1   x1 
  

 x 2   x 2 

 

Ej. Nº 3: En Rn se definen las operaciones: X  Y = X – Y y α  X = -αX con X,Y  Rn y
α  R. ¿Cuáles de los axiomas de la definición de espacio vectorial son satisfechos por
Rn para las operaciones  y sobre R?.
Ej. Nº 4: Si F (A,R) es el conjunto de las funciones con dominio en un conjunto A  R no vacío
y codominio en el cuerpo conmutativo R , se definen las siguientes leyes:
1- Una ley interna en F (A,R) llamada suma definida por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) ;  x  A
2- Una ley de composición externa de R x F (A,R) en F (A,R) llamada producto y
definida por:
( f )(x) =  f(x) ;  x  A.Demuestre que la cuaterna (F (A,R) , + , R ,  ) es un espacio vectorial .
 x 

Ej. Nº 5: Demuestre que A =  1   R 2 / x1  0  x 2  0 . no es un espacio vectorial.
 x 2 

Ejemplifique gráficamente.

Ej. Nº 6: Sea P2 el conjunto de todos los polinomios de grado 2 o menor, con coeficientes
reales. Definimos la adición y la multiplicación por escalares de la manera habitual:
Eduardo DanielFERNÁNDEZ - JTP Álgebra Lineal

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Ing. Química – Ing. en Alimentos – Lic. en Análisis Qcos y Bromatológicos - Año 2014
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Si
p( x)  a0  a1 x  a 2 x 2 y q( x)  b0  b1 x  b2 x 2
entonces: p( x)  q( x)  (a0  b0 )  (a1  b1 ) x  (a2  b2 ) x 2
y
p( x)  a0  a1 x  a2 x 2
Pruebe que P2 con estas operacioneses un espacio vectorial.
Ej. Nº 7: Determine si R2 con la operación habitual de multiplicación por escalares, pero con la
 x   y   x  y1  1 
 es un espacio vectorial.
adición definida por:  1    1    1
 x2   y 2   x2  y 2  1

a
 
Ej. Nº 8: Pruebe que el conjunto de vectores de la forma  b  , donde a y b son números reales
1
 
3
cualesquiera no es unsubespacio de R .
Ej. Nº 9: Determine cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de cada uno
de los espacios que se indican:
 x 

a) S =  1   R 2 / x1  1
 x 2 


 x1 

 

3
c) S =  x 2   R / x1  x 2 
 x 

 3 


 x1 

 

3
2
2
2
b) S =  x 2   R / x1  x 2  x3  k , k  N 
 x 

 3 


 x1 

 

3
d) S =  x 2   R / x3 x 2  1
 x 

 3 


Ej. Nº 10: Pruebe si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R2 e interprete
geométricamente.
a)

 x 

S =  1   R 2 / x 2  3x1 
 x 2 


 x 

b) S =  1   R 2 / x 2  2 x1  1
 x 2 


Ej. Nº 11: Pruebe si el conjunto de polinomios de grado 2 es un subespacio de P2.
Ej. Nº 12: Si C [0 , 1] es el conjunto de las funcionescontinuas y f  C [0 , 1], entonces existe
un número real

1



0

f ( x)dx . Si B = f  C [0 , 1] /

1



0

f ( x)dx = 0 . Pruebe que B es

un subespacio de C [0 , 1].

 1   2 
 1 
 
   
Ej. Nº 13: Sea el conjunto A =   3 ;   1 . a) ¿Es  7  combinación lineal de los vectores
  4
 2   1 
 
   
de A?.

Eduardo Daniel FERNÁNDEZ - JTP Álgebra Lineal...