Alebralineal Ti- Nspire
Páginas: 20 (4791 palabras)
Publicado: 11 de febrero de 2013
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LOS MOCHIS
MATERIA : Á LGEBRA LINEAL
UNIDAD 1: N ÚMEROS C OMPLEJOS
PROFESOR: M. C. LUIS FELIPE FLORES LÓPEZ
El álgebra lineal aporta, al perfil de ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas.
Dedicatoria
Para quien lo perfecto, no es un imposible, Paraquienes dieron lo mejor de sí, para hacernos hombres de bien, Para quienes son partícipes de fortalecer el núcleo familiar, Para quienes se comprometen con la Educación. Agradezco su interés por las notas; sus comentarios y aportaciones serán de gran utilidad para transformarlas en un material didáctico.
1. N ÚMEROS COMPLEJOS . 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. D EFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROSCOMPLEJOS . O PERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS . M ODULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO . F ORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO . T EOREMA DE M OIVRE , POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO . E CUACIONES P OLINÓMICAS .
UNIDAD 1: NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Origen de los Números Complejos: La primera referencia conocida araíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo como resultado de una imposible sección de una pirámide. El gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3 , 4 y 5 . Evidentemente el triángulo es rectángulo,cumple el teorema de Pitágoras:
32 + 42 = 5 2
Para generar Nuevo Archivo: c 1 Si aparece el mensaje ¿Desea guardar “Documento no guardado”? Seleccionar No · 1 la página 1.1 se configuro en Modo Calculadora. Configuraciones del documento: ~ 7 2 configurar como en la imagen de abajo, Ok · para almacenar.
Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área es 6 unidades. Con la mismacuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente: • un cateto mediría x 14 • como el área debía ser 7 , el otro cateto será x .
•
14 la hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras x 2 + ⎛ ⎞ = h 2 ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ 14 x
2
De los cálculos inferiores capturar la columna izquierda, al presionar · aparecerá la columna derecha.Nota: Verifica que la captura la hayas realizado de manera correcta.
pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12 : x + + h = 12 Por tanto se debe cumplir la ecuación: Cuya solución Diofanto expresó como: Separando la fracción obtenemos:
x2 + 196 ⎛ 14 ⎞ = ⎜ 12 - x - ⎟ 2 ⎝ x x⎠
2
De donde se obtiene: 6x 2 - 43x + 84 = 0
43 ± 167 -1 12
43 167 ± -1 12 12
Pero no conocía ningúnnúmero que elevado al cuadrado fuese igual a -1 , por tanto, el problema no tenía solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sóloestaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como:
PROFESOR: M. C. LUIS FELIPE FLORES LÓPEZ 2 - 16
UNIDAD 1: NÚMEROS COMPLEJOS
(5 +
-15 ⋅ 5 - -15
)(
)
ya que 40 = 25 -(-15) = 5 2 -( -15 )2 = (5 2 + -15 )(5 2 - -15 ) por lo tanto 40= ( 5 + -15 ) ⋅ ( 5 - -15 ) En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i por imaginario. ∴ i 2 = −1 Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand que describió en 1806, mientras atendía una tienda de libros en París, la representación geométrica de los números complejos, publicando la idea de lo que se conoce como plano de Argand,...
MATERIA : Á LGEBRA LINEAL
UNIDAD 1: N ÚMEROS C OMPLEJOS
PROFESOR: M. C. LUIS FELIPE FLORES LÓPEZ
El álgebra lineal aporta, al perfil de ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas.
Dedicatoria
Para quien lo perfecto, no es un imposible, Paraquienes dieron lo mejor de sí, para hacernos hombres de bien, Para quienes son partícipes de fortalecer el núcleo familiar, Para quienes se comprometen con la Educación. Agradezco su interés por las notas; sus comentarios y aportaciones serán de gran utilidad para transformarlas en un material didáctico.
1. N ÚMEROS COMPLEJOS . 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. D EFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROSCOMPLEJOS . O PERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS . M ODULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO . F ORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO . T EOREMA DE M OIVRE , POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO . E CUACIONES P OLINÓMICAS .
UNIDAD 1: NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Origen de los Números Complejos: La primera referencia conocida araíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo como resultado de una imposible sección de una pirámide. El gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3 , 4 y 5 . Evidentemente el triángulo es rectángulo,cumple el teorema de Pitágoras:
32 + 42 = 5 2
Para generar Nuevo Archivo: c 1 Si aparece el mensaje ¿Desea guardar “Documento no guardado”? Seleccionar No · 1 la página 1.1 se configuro en Modo Calculadora. Configuraciones del documento: ~ 7 2 configurar como en la imagen de abajo, Ok · para almacenar.
Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área es 6 unidades. Con la mismacuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente: • un cateto mediría x 14 • como el área debía ser 7 , el otro cateto será x .
•
14 la hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras x 2 + ⎛ ⎞ = h 2 ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ 14 x
2
De los cálculos inferiores capturar la columna izquierda, al presionar · aparecerá la columna derecha.Nota: Verifica que la captura la hayas realizado de manera correcta.
pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12 : x + + h = 12 Por tanto se debe cumplir la ecuación: Cuya solución Diofanto expresó como: Separando la fracción obtenemos:
x2 + 196 ⎛ 14 ⎞ = ⎜ 12 - x - ⎟ 2 ⎝ x x⎠
2
De donde se obtiene: 6x 2 - 43x + 84 = 0
43 ± 167 -1 12
43 167 ± -1 12 12
Pero no conocía ningúnnúmero que elevado al cuadrado fuese igual a -1 , por tanto, el problema no tenía solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sóloestaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como:
PROFESOR: M. C. LUIS FELIPE FLORES LÓPEZ 2 - 16
UNIDAD 1: NÚMEROS COMPLEJOS
(5 +
-15 ⋅ 5 - -15
)(
)
ya que 40 = 25 -(-15) = 5 2 -( -15 )2 = (5 2 + -15 )(5 2 - -15 ) por lo tanto 40= ( 5 + -15 ) ⋅ ( 5 - -15 ) En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i por imaginario. ∴ i 2 = −1 Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand que describió en 1806, mientras atendía una tienda de libros en París, la representación geométrica de los números complejos, publicando la idea de lo que se conoce como plano de Argand,...
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