algabre lineal

Cap´
ıtulo 8

Espacios vectoriales con
producto interno
En este cap´
ıtulo, se generalizar´n las nociones geom´tricas de distancia y perpendicularidad,
a
e
conocidas en R2 y en R3 , a otros espacios vectoriales. S´lo se considerar´n espacios vectoriales
o
a
sobre R o sobre C.

8.1

Producto interno

Algunas nociones geom´tricas en R2 y en R3 pueden definirse a partir del productoescalar.
e
La definici´n que sigue es una generalizaci´n del producto escalar a otros espacios vectoriales.
o
o

8.1.1

Definici´n y ejemplos
o

Definici´n 8.1 Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C). Un producto interno
o
sobre V es una funci´n Φ : V × V → R (respectivamente C) que cumple:
o
i) Para cada α ∈ R (respectivamente C), y v, w, z ∈ V
• Φ(v + w, z) = Φ(v, z)+ Φ(w, z)
• Φ(α.v, z) = α. Φ(v, z)
ii) Φ(v, w) = Φ(w, v) ∀ v, w ∈ V .
(Notar que esta condici´n implica que para cada v ∈ V , Φ(v, v) = Φ(v, v), es decir que
o
Φ(v, v) ∈ R.)
iii) Φ(v, v) > 0 si v = 0.
Notaci´n. Si Φ es un producto interno, escribiremos Φ(v, w) = v, w .
o

190

Espacios vectoriales con producto interno

Definici´n 8.2 A un espacio vectorial real (respectivamentecomplejo) provisto de un proo
ducto interno se lo llama un espacio eucl´
ıdeo (respectivamente espacio unitario).
Observaci´n 8.3 De las condiciones i) y ii) de la definici´n de producto interno se deduce
o
o
que si Φ : V × V → R (respectivamente C) es un producto interno, para cada α ∈ R
(respectivamente C), y v, w, z ∈ V vale:
Φ(v, w + z)
Φ(v, α.w)

= Φ(v, w) + Φ(v, z),
= α .Φ(v, w).Ejemplos. Se puede comprobar que las funciones Φ definidas a continuaci´n son productos
o
internos sobre los espacios vectoriales correspondientes:
• Producto interno can´nico en Rn :
o
Φ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = x1 y1 + · · · + xn yn .
• Producto interno can´nico en Cn :
o
Φ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = x1 y 1 + · · · + xn y n .
• Dada B ∈ Cm×n , denotamos porB ∗ ∈ Cn×m a la matriz transpuesta conjugada de B,
es decir, a la matriz definida por (B ∗ )ij = Bji . Se define Φ : Cm×n × Cm×n → C como
Φ(A, B) = tr(A.B ∗ ).
• Si a < b ∈ R y C[a, b] = {f : [a, b] → R / f continua}, se define Φ : C[a, b] × C[a, b] → R
como
b

Φ(f, g) =

f (x)g(x) dx.
a

Dado un espacio vectorial V es posible definir distintos productos internos sobre V . En el
ejemplosiguiente veremos una familia de productos internos en R2 .
Ejemplo. Sea Φ : R2 × R2 → R definida por
Φ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + α. x2 y2
Hallar todos los valores de α ∈ R para los cuales Φ es un producto interno.
Es inmediato verificar que, para cualquier α ∈ R se cumplen las condiciones i) y ii) de la
definici´n de producto interno. Veamos para qu´ valores de α secumple la condici´n iii). Se
o
e
o
tiene que
Φ((x1 , x2 ), (x1 , x2 )) =

x2 − 2x1 x2 + αx2
1
2

= x2 − 2x1 x2 + x2 + (α − 1)x2
1
2
2
= (x1 − x2 )2 + (α − 1)x2
2
De esta igualdad se deduce que Φ(v, v) > 0 ∀ v = 0 ⇐⇒ α > 1.
En consecuencia, Φ es un producto interno si y s´lo si α > 1.
o

8.1 Producto interno

8.1.2

191

Norma de un vector

La noci´n que sigue generalizala de longitud de un vector en R2 o R3 .
o
Definici´n 8.4 Sea (V, , ) un espacio vectorial sobre R (respectivamente C) con producto
o
1
interno y sea v ∈ V . Se define la norma de v asociada a , (y se nota v ) como v = v, v 2 .
Proposici´n 8.5 (Propiedades de la norma.) Sea (V, , ) un espacio vectorial con producto
o
interno.
i) Para cada v ∈ V , v ≥ 0, y v = 0 si y s´lo si v = 0.
o
ii)Sean α ∈ R (respectivamente C) y v ∈ V . Entonces α.v = |α|. v .
iii) Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Si v, w ∈ V , entonces
| v, w | ≤ v . w .
iv) Desigualdad triangular. Si v, w ∈ V , entonces
v+w ≤ v + w .
Demostraci´n. Las propiedades i) e ii) se deducen inmediatamente de la definici´n de norma.
o
o
iii) Si w = 0, no hay nada que hacer. Supongamos entonces que w = 0. Se tiene que
0...