algbra lineal

1.

RANGO DE UNA MATRIZ

El rango de una matriz es el mayor de los ´rdenes de los menores no nulos que podemos encontrar
o
en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al n´mero de filas o de columnas. Tambi´n
u
e
se define el rango de una matriz como el n´mero m´ximo de filas (o columnas) linealmente indeu
a
pendientes. esta segunda definici´n nos va a permitir relacionar elconcepto de rango con conceptos
o
relativos a espacios vectoriales.
El c´lculo del rango de una matriz es una cuesti´n importante a la hora de estudiar sistemas
a
o
de ecuaciones lineales. Adem´s en teor´ de control, el rango de una matriz se puede usar para
a
ıa
determinar si un sistema lineal es controlable u observable.
En este cap´
ıtulo vamos a explicar c´mo calcular rangos de matricesreales y veremos de qu´ modo
o
e
podemos utilizar esta informaci´n para aplicarla a los espacios vectoriales.
o
¿C´mo calcular el rango de una matriz real?
o
Es dif´ dar unas normas generales para el c´lculo del rango de una matriz, pues cada ejemplo
ıcil
a
puede ser tratado de diferentes modos. En principio, sugerimos la siguiente estrategia:
1. Si la matriz A no depende de par´metros,puede resultar muy c´modo utilizar operaciones
a
o
elementales de fila para conseguir una matriz equivalente E pero escalonada1 . El rango de la
matriz A ser´ simplemente el n´mero de entradas principales de la matriz escalonada E, o
a
u
lo que es lo mismo, el n´mero de filas no nulas de la matriz escalonada E.
u
2. Si la matriz depende de par´metros, en general, no es aconsejable2utilizar operaciones elea
mentales de fila. ¿Qu´ t´cnica utilizamos en este caso?
e e
a) Si la matriz A es cuadrada puede ser conveniente calcular det A, pues para aquellos
valores del o de los par´metros para los que det A = 0 sabemos que el rango de A
a
coincide con el orden de la matriz cuadrada A y para los valores de los par´metros para
a
los cuales det A = 0 procedemos de acuerdo a loexpuesto en el punto 1., si la nueva
matriz no depende de par´metros, o podemos utilizar la t´cnica que expondremos en el
a
e
punto b).
b) Para calcular el rango de una matriz A no cuadrada cuyos elementos dependen de uno
o m´s par´metros podemos utilizar la t´cnica de ir orlando ciertos menores de la matriz
a
a
e
y que podemos resumir del modo siguiente:
Se fija un menor de orden p,normalmente p = 2, con Mp no nulo3 . Si al a˜adir
n
1

Si denominamos entrada principal de una fila a la entrada diferente de cero que est´ m´s a la izquierda en una
a a
fila no nula, diremos que una matriz est´ en forma escalonada si tiene las siguientes tres propiedades:
a
a) Todas las filas diferentes de cero est´n arriba de cualquier fila nula.
a
b) Cada entrada principal de una fila est´ en unacolumna a la derecha de la entrada principal de una fila superior.
a
c) Todas las entradas de una columna que est´n debajo de una entrada principal son cero.
a
2

Consideremos la matriz

0

a
b
A=@
2a − 1

1
0
a

1
0
0 A
−b

Resulta evidente que realizar operaciones de fila va a resultar complicado. Sin embargo, calcular su determinante es
sencillo.
3
Tambi´n podemosexplicar este m´todo de la forma siguiente:
e
e

1

a Mp una fila fija Fi con cada una de las restantes columnas de A que no est´n
a
en Mp , todos los menores de orden p + 1 obtenidos de este modo son nulos, eso
significa que la fila Fi es combinaci´n lineal de las filas de A que forman parte
o
de Mp , luego podemos suprimir la fila Fi 4 .
Adem´s conviene destacar que si una fila o columna de lamatriz A de la que estamos calculando
a
su rango es combinaci´n lineal de las dem´s filas o columnas, se suprime y tenemos otra matriz
o
a
que tiene el mismo rango que A, pero con dimensiones m´s peque˜as.
a
n
Empezamos con un ejercicio sencillo.

1.1.

Operaciones elementales de fila

Calcular el rango de la siguiente

1
2
A=
0
2

matriz real:

3 −2 0 2 0
6 −5 −2 4 −3...