Algebra de Boole

TEMA 4:
ÁLGEBRA DE BOOLE

Álgebra de Boole

ÁLGEBRA DE BOOLE
El álgebra de Boole, cuyo nombre se debe al matemático inglés George Boole, fue introducida por éste ("An
Investigation of the Laws of Thought", Londres, 1854) con el fin de proporcionar un método simbólico para
analizar la lógica humana. Casi un siglo después (1938) Claude E. Shannon propuso ("A Symbolic Analysis of
Relay andSwitching Circuits") el álgebra de Boole bivalente o de conmutación, como aparato matemático para
el estudio de los circuitos eléctricos de conmutación (circuitos eléctricos con dos estados posibles). Hace pues,
más de setenta años que se sentaron las bases matemáticas para el análisis lógico de los circuitos básicos
constructivos de las modernas máquinas digitales.
En este capítulo nosproponemos el estudio del álgebra de Boole, particularizando al álgebra de Boole
bivalente, como una herramienta matemática que después utilizaremos en el análisis y síntesis de circuitos
digitales.

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Álgebra de Boole

DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA DE BOOLE
Una estr ct ra algebraica (B + ) formada por un conj nto B y dos operaciones definidas sobre B q e
estructura
(B,+,·),
n conjunto
quedenominaremos + y ·, se dice que es un álgebra de Boole si, y solo si, cumple los siguientes axiomas:
 El conjunto B es cerrado con respecto a las dos operaciones.
Para todo X e Y pertenecientes a B X+Y y X Y también pertenecen a B
B,
X·Y
B.
 Existencia de elemento identidad para las dos operaciones.
Existen en B dos elementos distintos 0 y 1 tal que, para todo X perteneciente a B, se cumpleque:
X+0=X

y

X·1=X

 Las dos operaciones cumplen la propiedad conmutativa.
p
p que:
Para todo X e Y pertenecientes a B se cumple q
X+Y=Y+X

y

X·Y=Y·X

 Cada operación es distributiva con respecto a la otra.
Para todo X Y Z pertenecientes a B se cumple que:
X, Y,
X · (Y + Z) = (X · Y) + (X · Z)

y

X + (Y · Z) = (X + Y) · (X + Z)

 Existencia del elementocomplementario.
Para todo X perteneciente a B existe otro elemento de B, que llamaremos complementario de X y
denotaremos por X', tal que:
X + X'= 1

y

X · X'= 0

Estos axiomas se conocen como postulados de Huntington para el álgebra de Boole.
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Álgebra de Boole

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
De los axiomas anteriores se derivan una serie de propiedades para el álgebra de Boole q e sonútiles en el
a iomas
deri an na
que
tratamiento de las expresiones algebraicas booleanas.
 Principio de dualidad: Sea G una igualdad entre dos expresiones booleanas y GD otra igualdad obtenida a
p
partir de G intercambiando los operadores ( y ·) y los elementos de identidad ( y 1). Si G es una identidad
p
(+ )
(0
)
(igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables quecontiene su expresión), la igualdad GD
(llamada dual de G) también lo es.
 Para todo X perteneciente a B se verifica que:
X+1=1

y

X·0=0

 Ley de idempotencia: Para todo X perteneciente a B se verifica que:
X+X=X

y

X·X=X

 Ley de involución: Para todo X perteneciente a B se verifica que:
(X')'=X
 Ley de absorción: Para todo X e Y pertenecientes a B se verifica que:
X+X·Y=Xy

X · (X + Y) = X

 Propiedad asociativa: Para todo X, Y, Z pertenecientes a B se verifica que:
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

y

X · (Y · Z) = (X · Y) · Z

 Leyes de De Morgan: Para todo X1, X2, …, Xn pertenecientes a B se verifica que:
(X1 + X2 + … + Xn)' = X1' · X2' · … ·Xn'

y

(X1 · X2 · … · Xn)' = X1' + X2' + … + Xn'

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ÁLGEBRA DE BOOLE BIVALENTE ODE CONMUTACIÓN
Se pueden definir m chas álgebras de Boole dependiendo de cual sea el conj nto B y de cómo se definan los
p eden
muchas
c al
conjunto
operadores + y ·
Definiremos aquí la llamada álgebra de Boole bivalente (el conjunto B lo forman únicamente dos elementos).
Nuestro interés en el álgebra de Boole bivalente se debe a q es la estructura algebraica q nos p
g
que
g
que...