Algebra de boole

Álgebra de Boole

Tema 5

¿Qué sabrás al final del capítulo?
Leyes y propiedades del Algebra de Boole  Simplificar funciones utilizando el Algebra de Boole  Analizar circuitos mediante Algebra de Boole y simplificarlos  Pasar de una tabla de verdad a Suma de Productos y Producto de Sumas  Utilizar Mapas de Karnaugh para simplificar funciones lógicas


Algebra de Boole
En Algebrahabéis aprendido leyes y propiedades. Por ejemplo, la propiedad Conmutativa de la Suma A + B = B + A (A y B son números enteros o reales)
En 1860 George Boole desarrolló un Algebra en la que los valores de A y B sólo podían ser “verdadero” o “falso” (1 ó 0). Se llama Algebra de Boole y se utiliza en Electrónica Digital

Operaciones del Algebra de Boole
Suma Booleana es la función lógica OR X=A+ B

Multiplicación Booleana es la función lógica AND X = AB

Commutativa de la suma
A+B = B+A El orden en la OR no importa

Commutativa del producto
AB = BA El orden en la AND no importa

Asociativa de la suma
A + (B + C) = (A + B) + C Agrupar variables en la OR no importa

Asociativa del producto
A (B C) = (A B) C Agrupar variables en la AND no importa

Distributiva
A(B +C) = AB + AC

A

B
C

X=Y

X Y

Distributiva
(A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD

A
B C D X Y

X=Y

A+0=A
Hacer una operación OR con 0 no cambia nada.

A

X

X=A

A+1=1
Hacer una operación OR con 1 da siempre 1.

A
X=1 X

A•0=0
Hacer una operación AND con 0 siempre da 0

A

X=0

X

A•1 =A
Hacer una operación AND con 1 no cambia nada

A
X=A X

A+A =A
Hacer una operación OR consigo mismo da el mismo resultado

A

A

A=A

X

A+A=1
O bien A o A serán 1, luego la salida será 1

A

A
X=1 X

A•A = A
Hacer una operación AND consigo mismo da el mismo resultado

A

A

A=A

X

A•A =0
Bien A o A son 0 luego la salida será 0.

A A X X=0

A=A
Si negamos algo dos veces volvemos al principio

A
X=A

X

A +AB = A

A

B
X

A + AB = A + B (absorción)
Si A es 1 la salida es 1 Si A es 0 la salida es B

A B
X Y

X=Y

(A + B)(A + C) = A + BC

A

B
C

X Y

Tres leyes y doce propiedades en Algebra de Boole

Leyes de De Morgan
De Morgan ayuda a simplificar circuitos digitales usando NORs y NANDs. A•B=A+B y A+B=A•B
Igual para más de 2 variables.

Ambos circuitos tienen lamisma salida: De Morgan funciona

A +B +C + D = A • B • C • D

Cálculo de la expresión algebraica de salida (ejemplo 1)

(A + B)(CD) = (A + B) + (CD)

= A + B + CD

X e Y son iguales

Cálculo de la expresión algebraica de salida (ejemplo 2)

X = (A+B) C + CD + B

= (A+B) C CD + B
= (A+B) C (CD + B) = A B C (C +D +B) = A B C C + A B C D +A B B C =AB C D

Los circuitos soniguales

Análisis Booleano de Funciones Lógicas
El propósito de este apartado es obtener expresiones booleanas simplificadas a partir de un circuito Se examina puerta a puerta a partir de sus entradas Se simplifica usando las leyes y propiedades booleanas.

Ejemplo 1

Puerta a puerta a partir de sus entradas

X= AB+(C+D)

X= AB + C+ D

Ejemplo 2

X = (AB)(CD)

X = ABCD

Ejemplo3

X = ABCD +A Simplificando: X = A + BCD

Ejemplo 4

X = (AB+B)BC

Usando la propiedad distributiva:
X = ABBC +BBC

En la siguiente transparencia se ve cómo las dos cosas son lo mismo

X = ABC + BBC
X = ABC + 0•C X = ABC + 0

X = ABC

Ejemplo 5

X = (A +AB) +(B(C+D))

X = (A + B) + (B(C + D))

X = (A + B) + (BC + BD)

X = A + B + BC + BD

X = A + B + C + BD(sigue en la próxima transparencia)

X = A + B + C + BD
X =A+ B + C + D

Los circuitos son iguales

Expresiones booleanas desde tablas de verdad
Producto de sumas
Y=(A+B+C)·(D+C)·(E+F) Suma de productos

Y= A·B·C+B·C·D+A·C·D o directamente Y= ABC+BCD+ACD

Sumas de productos
La función es 1 cuando ABCD=1111 o cuando ABCD=1110 o cuando ABCD=1011 o cuando ABCD=0011 y en ningún otro...