Algebra de boole

Lógica – FCE

CIRCUITOS LÓGICOS

1. ALGEBRA DE BOOLE 1.1 Introducción Tanto la teoría de conjuntos como la lógica de enunciados tienen propiedades similares. Tales propiedades se utilizan para definir una estructura matemática denominada álgebra de Boole, en honor al matemático George Boole (1813-1864). 1.2 Definición de álgebra de Boole Sea B un conjunto en el cual se definen dos operacionesbinarias, + y *, y una operación unitaria denotada ; sean 0 y 1 dos elementos diferentes de B. Entonces la sextupla: 〈B, +, *, , 0, 1〉 se denomina álgebra de Boole si se cumplen los siguientes axiomas para cualesquiera elementos a, b, c del conjunto B: [B1] [B2] [B3] [B4] Conmutatividad: (1a) a + b = b + a Distributividad: (2a) a + (b * c) = (a + b) * (a + c) Identidad: (3a) a + 0 = aComplemento: (4a) a + a = 1 (1b) (2b) (3b) (4b) a*b=b*a a * (b + c) = (a * b) + (a * c) a*1=a

a* a =0

1.3 Terminología y convenciones • Las operaciones + y * se denominan suma y producto, respectivamente. • La operación a se denomina complemento de a. • El elemento 0 se denomina elemento cero (neutro respecto de la suma).

1

• El elemento 1 se denomina elemento unidad (neutro respecto delproducto). • Por convención, omitimos el símbolo *, usándose en su lugar la yuxtaposición; de este modo, (2a) y (2b) se escriben: (2a) a + bc = (a + b) (a + c) (2b) a (b + c) = ab + ac ; por • Por convención, establecemos que + es más fuerte que * y * es más fuerte que ejemplo:

a + b * c significa a + (b * c) y no a* b significa a * ( b ) y no
1.4 Dualidad

(a + b) * c ( a * b)

En un álgebra deBoole B, el dual de cualquier enunciado es el enunciado obtenido de intercambiar las operaciones + y *, e intercambiar los elementos neutros 0 y 1 en el enunciado original. Por ejemplo: el dual de (1 + a) * (b + 0) = b es (0 * a) + (b * 1) = b

Con esta definición de dualidad puede observarse que, en la definición de álgebra de Boole, los axiomas del grupo (1) son duales de los axiomas del grupo(2) y viceversa. En otras palabras, el dual de cualquier axioma de B también es un axioma. En consecuencia, se cumple el siguiente teorema: Teorema 1.1 (Principio de dualidad): En un álgebra de Boole, el dual de cualquier teorema es también un teorema. Esto significa que, si cualquier teorema es una consecuencia de los axiomas de un álgebra de Boole, entonces el dual también es una consecuenciade estos axiomas ya que se puede probar usando el dual en cada paso de la demostración original. 1.5 Teoremas básicos Utilizando los axiomas de la definición de un álgebra de Boole, pueden demostrarse los siguientes teoremas: Teorema 1.2: Sean a, b, c elementos cualesquiera de un álgebra de Boole B, se cumple: (i) (ii) (iii) Idempotencia: (5a) a + a = a Acotamiento: (6a) a + 1 = 1 Absorción: (7a) a+ (a * b) = a (5b) (6b) (7b)

a*a=a a*0=0 a * ( a + b) = a

2

(iv)

Asociatividad: (8a) (a + b) + c = a + (b + c)

(8b)

(a * b) * c = a * (b * c)

Teorema 1.3: Sea a un elemento cualquiera de un álgebra de Boole B, se cumple: (i) (ii) (iii) Unicidad del complemento: Si a + x = 1 y a * x = 0, entonces x = a Involución:
a =a

(9a)

0 =1

(9b)

1 =0

Teorema 1.4: Leyes deDe Morgan

(10a) a + b = a * b

(10b) a * b = a + b

Es importante insistir que el álgebra de Boole es la estructura algebraica de la lógica de enunciados. En efecto, si se reemplazan las variables a, b, c, … por variables proposicionales, la suma y el producto por la disyunción y la conjunción respectivamente, el complemento por la negación, la igualdad por el bicondicional, y 1 y 0 por Vy F respectivamente, todos los axiomas y teoremas del álgebra de Boole se transforman en axiomas o teoremas de la lógica de enunciados. Por ejemplo: (2b) a * (b + c) = (a * b) + (a * c) (5a) a + a = a (7a) a + (a * b) = a (10b) a * b = a + b
1.6 Forma de suma de productos

p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p∨p↔p p ∨ (p ∧ q) ↔ p ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q

Considérese un conjunto de variables a, b, c,...