Algebra de matrices

Álgebra Lineal y Diferenciación en ℝn (01)

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ÁLGEBRA DE MATRICES
Definición de Matriz Una matriz es un conjunto de valores dispuestos rectangularmente en filas y columnas. Se llama matriz de orden nxm a un conjunto de nm números colocados en n filas y m columnas de la siguiente forma:

 a11   a21  M  A =  ai1  M  a  n1

a12 a22 M ai 2 M

... a1 j ... a2 j M ... ai j Man 2 ... anj

... a1m   ... a2 m  M   ... aim  M   ... anm  

Comúnmente las matrices se denotan por letras mayúsculas. Se le llama orden (o tamaño) de una matriz al número de filas y columnas que contiene y se denota por nxm (n filas y m columnas). El orden (o tamaño) de la matriz puede acompañar a la letra que nombra a la matriz para brindar mayor información: Anxm ó Anm ó An,m.Ejemplo:

 2 1 4 Considere A =   − 1 0 5 y   

0 0    1 ¾  B = ½ - ¾  .   1 1   

El orden de la matriz A es 2x3 y el orden de la matriz B es 4x2. Puede escribirse A2x3 y B4x2. A cada número aij se le llama elemento (o término o componente) de la matriz. Entonces el elemento ij de la matriz es el valor que está situado en la fila i y la columna j de la matriz. Ejemplo: 2 1 4 En la matriz A =   −1 0 π  ,   
el elemento 1,1 es 2; el elemento 1,2 es 1; el elemento 1,3 es 4; el elemento 2,1 es -1; el elemento 2,2 es 0; el elemento 2,3 es π.

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Notación:

A = (aij)nxm

donde 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m

Al conjunto de todas las matrices de orden nxm se le denota Mnxm. Ejemplo:

 5 3    0 10 1 0 y B =  Sean A =   − 6 0 8 .   7 0    
Entonces: A ∉ M2x3 B ∈ M2x3 A ∈ M3x2 Tipos particulares de matrices Es conveniente distinguir algunas características de las matrices, así se definirá: Matriz fila (vector fila). Es una matriz que posee una única fila. Ejemplos: (1 9 1); (7 -1 -2 1 3); (0 0) Nota: En ocasiones, para mayor claridad en la escritura, los valores de una matrizfila se separan por comas. Por ejemplo: (1, 9, 1). Matriz columna (vector columna). Es una matriz que posee una única columna.

 1   Ejemplos:  9  ;  1  

 0    2  

Matriz nula. Es una matriz cuyos elementos son todos ceros. Se denota por 0.

Ejemplo:

 0 0 0 02x3 =   0 0 0   

Matriz transpuesta. La matriz transpuesta de una matriz A es la matriz que seobtiene al t intercambiar las filas y las columnas de A. Se denota por A (o también A').

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5 3    1 0  entonces At = Ejemplo: Si A =   7 ¼  

5 1 7   3 0 ¼   

Propiedades 1. Si una matriz A es de orden nxm entonces su transpuesta At es de orden mxn. 2. (At)t = A Matriz cuadrada. Se llama matriz cuadrada a aquella quetiene igual número de filas y columnas.

1 0 2    4 5 5 1 3 , B =  Ejemplos: A =   4 4  1 0 4    
Si una matriz cuadrada posee n filas y n columnas se puede simplificar el lenguaje diciendo que es de orden n, en lugar de nxn. Diagonal principal y secundaria de una matriz cuadrada Sea A = (aij)nxn una matriz cuadrada de orden n. La diagonal principal la conforman los elementos aijtales que i = j.

 a11 ... a1n    M M  A=  a   n1 ... ann 
La diagonal secundaria la conforman los elementos aij tales que j = n + 1 − i.

 a11 ... a1n    M M  A=  a   n1 ... ann 
¿La diagonal principal y la diagonal secundaria poseen elementos comunes?

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Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada en la que todos loselementos fuera de la diagonal principal son ceros. O sea, aij = 0 para todo i ≠ j

Ejemplos:

 4 0 0    0 0  0 1 0 y B =  A=  0 0  son diagonales.   0 0 8      5 0 0 C=   0 1 0 y D =   
 4 0 0,1    0 1 0  no son diagonales. 0 0 8   

Matriz identidad. Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son 1. O sea, aij = 0 para...