Álgebra De Matrices

Álgebra de Matrices
Matrices. Definiciones. Operaciones con Matrices.
Las matrices son cajas numéricas rectangulares formadas por filas y columnas.
En general definimos una matriz de orden (mxn) como una caja de la forma:

(ܽ௜௝ son números)

Esta matriz tiene “m” filas y “n” columnas.
Su dimensión es mxn (número de elementos).
Si m=1 la matriz se dice “matriz fila”.
Si n=1 la matriz se dice“matriz columna”.
Si m=n la matriz se dice cuadrada de orden (n).
Las matrices se suelen denominar con una letra mayúscula (A, B, C,....) y
j =1,..., n
abreviadamente se suele escribir A = (aij )i =1,....,m .

Ejemplos:

A es de dimensión 2x3
B es una matriz cuadrada de dimensión 2
C es una matriz columna, de dimensión 4x1
D es una matriz fila, de dimensión 1x4

Dos matrices A y B se dicen iguales cuandoson de la misma dimensión y además
coincide término por término.
j =1,.., n
j =1,..,n
A = (aij )i =1,..,m = B = (bij )i =1,..,m ⇔ aij = bij ∀i , ∀j

1

Llamamos traspuesta de A = (aij )i =1,....,m , a la matriz At = (a ji ) j =1,..,n que se obtiene al
j =1,...,n

i =1,..,m

cambiar en A las filas por las columnas (y viceversa).

Llamamos opuesta de A = (aij )i =1,....,m , a la matriz − A = (−aij )i =1,....,m que se obtiene al
j =1,...,n

j =1,...,n

cambiar el signo de todos los elementos de A .

Una matriz A se dice simétrica si A = At (en consecuencia para que sea simétrica
necesariamente ha de ser cuadrada).

Una matriz A se dice antisimétrica si − A = At (en consecuencia para que sea
antisimétrica
ntisimétrica necesariamente ha de ser cuadrada y los elementos de la diagonalprincipal han de ser ceros).
).

Toda matriz cuadrada A se puede descomponer de modo único como suma de una
matriz simétrica S y otra antisimétrica H .
2

Diagonal principal en una matriz cuadrada son los elementos: aij ; (i = j )

Llamamos matriz triangular aquella que tiene todos los elementos por debajo (o por
encima) de la diagonal principal iguales a cero.

Llamamos matriz diagonal aquella que tienetodos los elementos iguales a cero
excepto la diagonal principal y llamamos matriz identidad a una matriz diagonal que
tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1

Matriz diagonal

Matriz identidad de orden 4

1 0

1 0 0


1 0
0 1
 I 3 =  0 1 0  I 4 = 
I 2 = 
0 0
0 1
0 0 1



0 0


0
0
1
0

0

0
0

1 

3

Operaciones con matrices.Las matrices sepueden sumar, pueden multiplicarse por un número y también
multiplicarse entre sí. Cada una de estas operaciones tiene sus particularidades y sus
interpretaciones.
Suma (resta) de dos matrices.j =1,.., n
Para sumar(restar) dos matrices A = (aij )i =1,..,m

y B = (bij )i =1,..,m
j =1,.., n

es necesario que

tengan la misma dimensión. En tal caso, se suman(restan) término a término:
j =1,.., n
j=1,..,n
j =1,.., n
A + B = (aij )i =1,..,m + (bij )i =1,..,m = (aij + bij )i =1,..,m

Producto de un número por una matriz.j =1,..., n
Para multiplicar un número (k ) por una matriz A = (aij )i =1,....,m , se multiplica ese número
por cada término de la matriz:
j =1,...,n
j =1,..,n
kA = k (aij )i =1,....,m = (kaij )i =1,..,m

4

Producto de una matriz fila por una matriz columna.columna.
Elproducto de un vector fila por un vector columna,, ambos de la misma dimensión, es
un número que se obtiene multiplicándolos término a término y sumando los
resultados.

Producto de dos matrices.matrices.
Para que dos matrices A = (aik )i =1,..,m

k =1,..,n

y

B = (bkj )k =1,..,n se puedan multiplicar es
j =1,.., p

necesario que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de lasegunda.
En tal caso el producto es otra matriz P = A.B cuyos elementos se obtienen
multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda del
siguiente modo:

P = A.B = (aik )i =1,..,m (bkj )k =1,..,n = (c ij )i =1,..,m
k =1,..,n

cij = (ai1

ai 2

j =1,.., p

j =1,.., p

donde cada cij se obtiene

 b1 j 
 
n
 b2 j 
... ain )   = ai1 .b1 j + .......... + ain...