Algebra III

6. FUNCIONES Y RELACIONES
6-1. Coordenadas rectangulares. En la Sec. Del Eje Numérico Real discutimos un esquema o método general que establece una "correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números reales y los puntos de una línea. Desarrollamos ahora un plan para establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos de un plano y el conjunto de parejas de números reales. Elinstrumento para realizar esta asociación de puntos y parejas de números es llamado un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Este sistema de coordenadas fue introducido en 1637 por René Descartes, un matemático y filósofo francés. El sistema cartesiano y otros sistemas coordenados hacen posible la reducción de los problemas geométricos a problemas aritméticos y, por tanto, han contribuidograndemente al avance de las matemáticas, y sus aplicaciones en varias zonas del aprendizaje.
Trazamos una línea recta horizontal y otra línea recta vertical que se encuentran en un punto O (Fig. 6-1). El punto O es llamado el origen; la línea horizontal OX, el eje x; y la línea vertical OY, el eje y. Con una unidad de medida conveniente establecemos una escala numérica en cada eje, de la cual elorigen es el punto cero. Los números positivos están a la derecha sobre el eje x y hacia arriba del origen sobre el eje y. Colocamos puntas de flechas sobre los ejes para indicar el sentido positivo en cada uno de ellos.
Con cada punto P del plano determinado por los ejes asociaremos una pareja de coordenadas. Las coordenadas se definen en términos de las distancias perpendiculares desde losejes hasta el punto.
Definición 6-1. La coordenada x, o abscisa, de un punto P es la distancia dirigida desde el eje y hasta el punto.
La coordenada y, u ordenada, de un punto es la distancia dirigida desde el eje x hasta el punto.

Figura 6-1

La abscisa de un punto P es positiva si P está a la derecha del eje y y negativa si está a la izquierda del mismo; la ordenada es positiva si P estáarriba del eje x y negativa si está abajo. Un punto cuya abscisa es x y cuya ordenada es y se designa mediante (x, y), la abscisa siempre será colocada en primer término. Así, las coordenadas de un punto son conocidas como una pareja ordenada de números.
Un punto de coordenadas dadas será localizado midiendo las distancias apropiadas desde los ejes y marcando el punto así encontrado. Por ejemplo, silas coordenadas de un punto son (-4, 3), la abscisa
-4 significa que el punto está 4.unidades a la izquierda del eje y y la ordenada 3 (signo positivo sobreentendido) que el punto está 3 unidades arriba del eje x. En consecuencia, localizamos el punto yendo 4 unidades hacia la izquierda desde el origen a lo largo del eje x y entonces 3 unidades hacia arriba y paralelamente al eje y (Fig. 6.2).Los ejes de coordenadas dividen a su plano en cuatro partes, llamadas cuadrantes, que en la Fig. 6-1 están numerados de I a IV. Las coordenadas de un punto en el primer cuadrante son ambas positivas, lo cual se indica en la figura mediante (+, +). Los signos de las coordenadas en cada uno de los otros cuadrantes están indicados de manera semejante.


Figura 6-2
Se supone que a cada pareja denúmeros reales (coordenadas) corresponde un punto definido. Recíprocamente, suponemos que a cada punto del plano corresponde una pareja definida de coordenadas. Esta relación de puntos en un plano y parejas de números reales es llamada correspondencia uno-a-uno.
El producto cartesiano de dos conjuntos de números reales A y B se define como el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) tales quex es un miembro de A, y Y es un miembro de B. Usando esta definición y haciendo A = B = R, podemos denotar el conjunto de parejas de números que corresponden a los puntos de un plano de coordenadas mediante la notación.
R x R = {(x,y)| xR, y R}

6-2. Relaciones y funciones. Los conceptos de relación y función son fundamentales en muchas áreas de las matemáticas. Empezamos nuestra discusión...