algebra lineal aplicaciones lineales

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Algebra lineal y Geometr´
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Gloria Serrano Sotelo
Daniel Hern´ndez Serrano
a
Dar´ S´nchez G´mez
ıo a
o
´
Departamento de MATEMATICAS

TEMA 2: APLICACIONES LINEALES

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Indice
1. Aplicaciones lineales. N´cleo e Imagen. Tipos de aplicaciones lineales.
u
1.1. N´cleo e imagen de una aplicaci´n lineal
u
o
1.2. Aplicaciones lineales inyectivas, epiyectivas y biyectivas
1.3.Operaciones con aplicaciones lineales: Suma, multiplicaci´n por escalares,
o
composici´n. Aplicaci´n lineal inversa
o
o
2. Aplicaciones lineales en coordenadas: Matrices
2.1. Matriz asociada a una aplicaci´n lineal
o
2.2. Matrices asociadas a la suma de aplicaciones lineales y al producto de una
aplicaci´n lineal por un escalar
o
2.3. Matriz asociada a la composici´n de aplicacioneslineales
o
3. Cambios de base
3.1. F´rmula del cambio de base para vectores
o
3.2. Cambio de base para aplicaciones lineales
4. Problemas propuestos

1.

1
2
3
4
5
5
6
6
7
8
8
10

´
Aplicaciones lineales. Nucleo e Imagen. Tipos de aplicaciones lineales.

Sean E y E k-espacios vectoriales.
T

Definici´n 1.1. Una aplicaci´n E − E es lineal (sobre k) si es compatible con la sumao
o
→
y producto por escalares, es decir si
T (e + v) = T (e) + T (v)
T (λe) = λT (e)
o equivalente, si T (λe + µv) = λT (e) + µT (v), cualesquiera que sean e, v ∈ E y λ, µ ∈ k.
Se verifican las siguientes propiedades:
Proposici´n 1.2. Sea T : E → E una aplicaci´n lineal de k-espacios vectoriales.
o
o
´
Notas para el curso “Algebra lineal y geometr´ de 1o de Grado en Inform´tica. Curso2012-2013.
ıa”,
a
1

2

TEMA 2: APLICACIONES LINEALES
T

(a) Si E − E es una aplicaci´n lineal la imagen del vector cero es el vector cero:
→
o
(b) Si V ⊆ E es un subespacio vectorial de E, entonces T (V ) es un subespacio vectorial
de E .
(c) Si V ⊆ E es un subespacio vectorial de E , entonces T −1 (V ) es un subespacio vectorial de E.
Demostraci´n. (a) T (0) = T (0e + 0v) = 0T(e) + 0T (v) = 0.
o
(b) Sean e1 y e2 dos elementos de T (V ), es decir e1 = T (v1 ) y e2 = T (v2 ) con v1 , v1 ∈ V .
Para cualesquiera escalares α, β ∈ k se tiene que αT (v1 ) + βT (v2 ) = T (αv1 + βv2 ),
ya que T es lineal. Como V es un subespacio de E resulta que αv1 + βv2 ∈ V y en
consecuencia T (V ) es cerrado por combinaciones lineales, es decir un subespacio.
(c) Por definici´n T −1 (V) = {e ∈ E : T (e) ∈ V }. Sean e1 , e2 ∈ T −1 (V ) y λ, µ ∈ k
o
cualesquiera, entonces T (λe1 + µe2 ) = λT (e1 ) + µT (e2 ) por ser T lineal. Como V es
un subespacio se tiene que λT (e1 ) + µT (e2 ) ∈ V , es decir λe1 + µe2 ∈ T −1 (V ). Luego
T −1 (V ) es un subespacio vectorial de E.

Ejemplo 1.3.
• La aplicaci´n
o
T

R3 − R2
→
(x, y, z) → (x + z + 2, y − z)
No es lineal pues T (0,0, 0) = (2, 0) = (0, 0)
D
• La aplicaci´n derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E − E, es
o
→
lineal pues D(λp(x) + µq(x)) = λp (x) + µq (x) = λD(p(x)) + µD(q(x)).
• La aplicaci´n
o
T
R3 − R2
→
(x, y, z) → (x + y, z 2 )
No es lineal ya que T (λ(x, y, z)) no es igual λT (x, y, z) para todo valor de λ:
T (λ(x, y, z)) = T (λx, λy, λz) = (λx + λy, λ2 z 2 ) = (λx +λy, λz 2 ) = λ(x + y, z 2 ) = λT (x, y, z).
La igualdad se da si λ2 = λ, esto es, s´lo para λ = 0, 1
o

1.1.

N´ cleo e imagen de una aplicaci´n lineal.
u
o
T

Definici´n 1.4. Sea E − E una aplicaci´n lineal, se definen su n´ cleo, ker T , y su imagen,
o
→
o
u
Im T , por:
ker T = {e ∈ E : T (e) = 0} ⊆ E
Im T = {e ∈ E : e = T (e) , para alg´n e ∈ E} ⊆ E
u

TEMA 2: APLICACIONESLINEALES

3

T

Teorema 1.5. Si E − E una aplicaci´n lineal, ker T es un subespacio vectorial de E e
→
o
Im T es un subespacio vectorial de E y se verifica la f´rmula de dimensi´n:
o
o
dimk E = dimk ker T + dimk Im T
Demostraci´n.
o
• ker T = T −1 (0), luego como {0} ⊆ E es subespacio vectorial la proposici´n anterior prueba
o
que ker T es un subespacio vectorial de E.
• Im T =...