algebra lineal ejercicios resueltos

3

CAP´ITULO

´
´
EJERCICIOS RESUELTOS: CONCEPTOS BASICOS
DE ALGEBRA
LINEAL

Ejercicios resueltos1
1. La norma p (tambi´en llamada lp ) en Rn se define como
1/p

n

x

p

p

=

|xi |

.

i=1

Demuestre que cumple los axiomas de norma. Calcule el l´ımite
lim x p .

p→∞

Soluci´on.
Verifiquemos cada uno de los axiomas de la definici´on de norma:
(a) x

p

≥0, con x

p

= 0 s´olo si x = 0.

Esta propiedad es evidente, puesto que |xi | ≥ 0.
(b) α x

p

= |α| x p .

Es f´acil de demostrar ya que
1/p

n
p

|α xi |
i=1
1

1/p

n

=

p

p

|xi |

|α|

i=1

1/p

n
p

|xi |

= |α|

.

i=1

c Francisco R. Villatoro, Carmen M. Garc´ıa, Juan I. Ramos. Estas notas est´
an protegidas por derechos decopyright y pueden ser distribuidas libremente s´
olo con prop´
ositos educativos sin ´
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Cap´ıtulo 3. Ejercicios resueltos: Conceptos b´asicos de ´algebra lineal

(c) x + y

p

≤ x

p

+ y p.

Demostrar este resultado es m´as dif´ıcil. Dos n´
umeros realespositivos p y q tales que
1 1
+ =1
p q
se denominan exponentes duales. Dados dos n´
umeros reales a, b > 0 se cumple
a1/p b1/q ≤

a b
+ ,
p q

para cuya prueba basta observar que para t ≥ 1,
t1/p ≤

t
1
+ ,
p q

ya que si evaluamos en t = 1 los dos miembros de la desigualdad son iguales, dado
que los exponentes son duales, y adem´as para t > 1 la derivada del primer miembro
essiempre menor que la del segundo, siendo ambas positivas, y por tanto, la funci´on
del primer miembro crece m´as lentamente que la del segundo. Sustituyendo a/b ≥ 1
o b/a ≥ 1 se prueba la desigualdad deseada. Tomemos como a y b
|xi |p
,
x pp

a=
con lo que obtenemos

b=

|yi |q
,
y qq

1 |xi |p
|xi | |yi |
1 |yi |q
≤
,
p +
x p y q
p x p q y qq

y aplicando sumatorios aambos lados
1
x

p

y

q

1 1
+ = 1,
p q

|xi | |yi | ≤
i

y de esta expresi´on es f´acil obtener la desigualdad de Minkowski en su versi´
on general
| x, y | ≤ x

p

y q.

Aplicando sumatorios a la siguiente desigualdad
|xi + yi |p ≤ |xi | |xi + yi |p−1 + |yi | |xi + yi |p−1 ,
obtenemos
|xi + yi |p ≤
i

|xi | |xi + yi |p−1 +
i

|yi | |xi + yi |p−1 ,
i

y aplicandola desigualdad de Minkowski dos veces
|xi + yi |p ≤ x
i

p

(x + y)p−1

q

+ y

p

(x + y)p−1 q ,

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que podemos escribir como
p
p

x+y

≤( x

+ y p ) (x + y)p−1 q .

p

Pero como los exponentes son duales
1/q

1/q

z

p−1

q

(p−1)q

|zi |

=

p

|zi |

=

= z

p/q
p ,

i

i

donde hemos usado (p − 1) q = p; como adem´as p/q = p −1, obtenemos finalmente
x+y

p
p

≤( x

+ y p ) (x + y)

p

p−1
p ,

es decir, la desigualdad triangular queda demostrada.
Finalmente tenemos que calcular
lim x

p→∞

p

p 1/p

= lim (|xi | )
p→∞

= lim

|xmax |

p→∞

i
p

xi

= |xmax | lim

p→∞

p

1/p

xmax

1/p

,

xmax

i

xi

p

donde xmax = maxi |xi |. Al menos hay un xi quecoincide con el xmax , pero puede que haya
m´as de uno, supongamos que hay r ≥ 1. En ese caso, las (n − r) restantes componentes
de x cumplen que
xi
xmax

σr+1
= · · · = σn2 = 0.

Adem´as, sean {ui } un conjunto ortonormal de vectores propios de B (que siempre existe
por ser herm´ıtica). De esta forma tenemos que
B ui = A∗ A ui = σi2 ui .
Adem´as, A ui

2
2

= σi2 ui

2
2

= σi2 yA ui = 0 para i ≥ r + 1. Por tanto, el rango

r = rango(A∗ A) ≤ min{rango(A), rango(A∗ )} ≤ min{n, m},
ya que si dos filas de A son linealmente dependientes, entonces tras multiplicarlas por A∗
lo seguir´an siendo (y lo mismo para columnas de A∗ ).
Sea U ∈ Mn×n , cuyas filas son los vectores ui , es decir, [u1 , . . . , un ]∗ . Sea vi = σi−1 A ui ,
1 ≤ i ≤ r. Los vectores vi forman un...