EJERCICIOS RESUELTOS ALGEBRA LINEAL


Tarea 3
Algebra Lineal, MAT 1203
1 de Abril de 2013
Fecha de Entrega: Hasta lunes 8 de Abril 14:00

Problemas

Problema 1) Resuelva los problemas del texto
a) Problema 17 sección 1.8



T(2u) = 2T(u) = =
También:
T(3v) = 3T(v) = =

Y los juntamos para resolver T(2u+3v):

T(2u+3v) = T(2u) + T(3v) = 2T(u) + 3T(v) = + =




b) Problema 20 Guía 2,

Escribimos elvector como combinación lineal de los otros tres vectores:
= + +
El sistema escrito como matriz sería:


Utilizamos Wolfram para calcular la matriz reducida que sería:


a = 14
b = -21
c = 5

T(u) = T(av1+bv2+cv3)

T(u) = aTv1 + bTv2 + cTv3 = 14 - 21 + 5 =



c) Problemas 25, 26 sección 1.8

T(p) + T(tv) = T(p) + tT(v)

Tp y Tv nos darán vectores q y w , entoncesqueda:

T(x) = q + tw
Si w = 0 , entonces esto representa el punto q
Si w 0 , entonces representa una recta.




a)
x = 1-tp + tq
x = 1+t(q-p)
geométricamente, q-p tiene la misma pendiente que la recta buscada entonces es una recta con la misma pendiente que la recta buscada pero, en el origen. Entonces, existe un f tal que:
con f escalar
Sea la recta deseada entonces dividimospor f:
, definimos = t
Y queda:


b)
Le aplicamos transformaciones
T((1-t)p+tq)
Tp – T(tp) + T(tq)
Tp – tTp + tTq
Tp – t(Tp + Tq)
Definimos Tp = a y Tq = b
X = a – t(a+b)
Lo que es una recta. A menos que a+b = 0 , lo que nos dejaría x igual al punto (a)


d) Problema 30 sección 1.8



Tvi = 0 i= 1…p

X qualquier vector en , está en el Gen de V1… Vp, entonces puede escribirse como combinación lineal
X = 1V1 +… + pVp

Tx = T(1V1 +… + pVp)

= T1v1 + T2v2 +…+ Tpvp
= 1Tv1 + 2Tv2 +…+ p Tvp
Y como Tvi = 0 con i = 1…p
= 1*0 +… + p*0 = 0

e) Problema 33 Sección 1.8


T(X1,X2) = (X1 – 2X2 , X1 – 3 , 2X1 – 5X2)
Si fuera T-l , debería cumplir
T(X1,X2) = T(X1, X2)
Para cualquier , pero:
2T(X1,X2) = T(2X1, 2X2)
2(X1 – 2X2 , X1– 3 , 2X1 – 5X2) = (2X1 – 4X2 , 2X1 – 3 , 4X1 – 10X2)
(2X1 – 4X2 , 2X1 – 6 , 4X1 – 10X2) = (2X1 – 4X2 , 2X1 – 3 , 4X1 – 10X2)



Pero si nos fijamos en el segundo valor de estas ultimas dos ecuaciones:
2X1 – 6 = 2X1 – 3
=> -6 = -3
Llegamos a algo falso, por lo tanto no es T.L.


f) Problemas 25, 27. Sección 1.9



T(x) = 0 tinene única solución si es uno a uno
X1 + 2X2 = 0
2X2+ X4 = 0
X2 – X4 = 0

No es necesario resolver nada más ya que X3 al no aparecer en las ecuacuines es variable libre, por lo tanto la T.L es sobre.




X1 – 5X2 + 4X3 = 0
X2 – 6X3 = 0

Al tener menos ecuaciones que variables, sabemos desde ya que queda una variable libre y es sobre. Al ser de hay una variable que hacemos desaparecer.



g) Problema 22 Guía 2, sólo la primeramatriz


Igualamos a 0
=

+ () + () = 0
+ = 0
+ () +() = 0
~~

=>
+ + = 0
= 0
= 0

Si ≠ 0 , = 0
Si ≠ 0 , = 0

Con ≠ 0 y ≠ 0 la primera ecuación queda = 0 , entonces:

T(x) = 0

X = por lo tanto es 1-1 cony≠ 0
Si = 0 , es libre
Si = 0 , es libre
Entonces para= 0 o = 0 ,
T(x) es sobre.


h) Problema 19 Sección 2.1(Demuestre)

La tercera columna será la suma de la primera columna con la segunda ya que matriz por vector tiene distributividad, ya que:





Tras desarrollarlo se deduce que la tercera columna es la suma de la primera y segunda columna del mismo AB.



i) Problema 21 Sección 2.1. (Demuestre)



Como ≠ 0 entonces hay 2 posibilidades, A es matriz de ceros, o que b es una soluciónhomogénea de A(x) = 0, y podemos decir que las columnas de A son linealmente dependientes ya que Ker(A) tiene mas soluciones que únicamente el vector cero.

j) Problema 16 Sección 2.1


A)
Falso, la fila resultante es 1xn (la primera fila de AB) y la primera fila de A es 1xn y la columna de B
b)
Falso, AB = (Ab1 Ab2 … Abn)
De acuerdo con la definición, no se suman.
c)...