Algebra lineal- espacios vectoriales

Álgebra Lineal - Espacios Vectoriales

Espacio Vectorial

Los espacios vectoriales siempre han formado parte del entorno físico. Se trata de una
estructura algebraica cuyas propiedadesintroducen los conceptos físicos de dirección,
magnitud y sentido. En el Álgebra Lineal esas características se enuncian por medio de sumas
y multiplicaciones.
Para un conjunto no-vacío 𝑉 (sus elementos sellaman vectores) y un campo 𝐾 (sus
elementos se llaman escalares), se definen las operaciones:



Adición de vectores: ∀ 𝑢�, 𝑣̅ ∈ 𝑉 existe un tercer vector 𝑢� + 𝑣̅ .
Producto por un escalar: ∀𝑢� ∈ 𝑉 y ∀ 𝛼 ∈ 𝐾 existe un segundo vector 𝛼𝑢�.

El conjunto 𝑉 es un espacio vectorial sobre el campo 𝐾, si las operaciones definidas cumplen
las siguientes propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.8.
9.
10.

𝑢� + 𝑣̅ ∈ 𝑉
𝑢� + (𝑣̅ + 𝑤
�) = (𝑢� + 𝑣̅ ) + 𝑤
�
𝑢� + 𝑣̅ = 𝑣̅ + 𝑢�
𝑢� + 0� = 𝑢�
𝑢� + (−𝑢�) = 0�
𝛼𝑢� ∈ 𝑉
(𝛼𝛽)𝑢� = 𝛼(𝛽𝑢�)
(𝛼 + 𝛽)𝑢� = 𝛼𝑢� + 𝛽𝑢�
𝛼(𝑢� + 𝑣̅ ) = 𝛼𝑢� + 𝛼𝑣̅
1𝑢� = 𝑢�EJEMPLO. Determina si ℂ es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales. La
prueba de cada axioma corresponde a demostrar que existen elementos complejos y se
cumplen igualdadesentre ellos.
Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑒, 𝑓 ∈ ℂ y 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. Tomando a 𝑥 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖, 𝑦 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖, 𝑧 = 𝑎3 + 𝑏3 𝑖,
𝑒 = 𝑐 + 𝑑𝑖 y 𝑓 = 𝑚 + 𝑛𝑖 la demostración se sigue a continuación.
Primer axioma: válido

(𝑎1 +𝑏1 𝑖) + (𝑎2 + 𝑏2 𝑖) = (𝑎1 + 𝑎2 ) + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑖 ∈ ℂ

1

Ing. Aldo Jiménez Arteaga

2014

Segundo axioma: válido
(𝑎1 + 𝑏1 𝑖) + [(𝑎2 + 𝑏2 𝑖) + (𝑎3 + 𝑏3 𝑖)] = [(𝑎1 + 𝑏1 𝑖) + (𝑎2 + 𝑏2 𝑖)] + (𝑎3 + 𝑏3𝑖)
(𝑎1 + 𝑏1 𝑖) + [(𝑎2 + 𝑎3 ) + (𝑏2 + 𝑏3 )𝑖] = [(𝑎1 + 𝑎2 ) + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑖] + (𝑎3 + 𝑏3 𝑖)
(𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ) + (𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 )𝑖 = (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ) + (𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 )𝑖

Tercer axioma: válido

(𝑎1 + 𝑏1 𝑖) +(𝑎2 + 𝑏2 𝑖) = (𝑎2 + 𝑏2 𝑖) + (𝑎1 + 𝑏1 𝑖)
(𝑎1 + 𝑎2 ) + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑖 = (𝑎2 + 𝑎1 ) + (𝑏2 + 𝑏1 )𝑖
= (𝑎1 + 𝑎2 ) + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑖

Cuarto axioma: válido

(𝑎1 + 𝑏1 𝑖) + 𝑒 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖
(𝑎1 + 𝑐) + (𝑏1...