Algebra Lineal Folleto 2do Parcial Ramiro Saltos

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Transformaciones Lineales
Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea T : V → W una función que asigna a todo
vector v ∈ V un único vector w = T (v) ∈ W . Se dice que T es una transformación lineal si:
T (v + w) = T (v) + T ( w)
1. ∀v, w ∈ V
T (αv) = αT (v)
2. ∀α ∈ R ∀v ∈ V

Teorema 1
Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces:
1. T (OV ) = OW
2. ∀v ∈ V T (v' ) = [T (v)]'3. T (α 1v1 + α 2 v 2 + α 3 v3 + ... + α n v n ) = α 1T (v1 ) + α 2T (v 2 ) + α 3T (v3 ) + ... + α nT (v n )
Núcleo de una Transformación Lineal
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo de T , denotado por Nu (T ) o
Ker (T ) , se define como:
Nu (T ) = {v ∈ V / T (v) = OW }

Recorrido de una Transformación Lineal
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Elrecorrido o imagen de T , denotado por
Re(T ) o Im(T ) , se define como:
Re(T ) = {w ∈ W / T (v) = w; v ∈ V }

Teorema 2
Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces se cumple que:
1. El núcleo de T es un subespacio de V
2. El recorrido de T es un subespacio de W
Nulidad y Rango de una Transformación Lineal
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. La nulidad de T , denotada por v(T ) ,se
define como:
v(T ) = dim Nu (T )

El rango de T , denotado por ρ (T ) , se define como:

ρ (T ) = dim Re(T )

Ramiro J. Saltos

-2Teorema de la Dimensión para Transformaciones Lineales
Sea T : V → W una transformación lineal donde V es un espacio vectorial de dimensión finita.
Entonces se cumple que:
v(T ) + ρ (T ) = dim V

Transformación Lineal Inyectiva
Definición: Sea T : V → W unatransformación lineal. Se dice que T es inyectiva si:
∀v, w ∈ V [T (v) = T ( w)] ⇒ (v = w)

Transformación Lineal Sobreyectiva
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Se dice que T es sobreyectiva si todo vector
de W es la imagen de por lo menos un vector de V . Es decir:
∀w ∈ W ∃v ∈ V w = T (v)

Dicho de otra manera, T es sobreyectiva si Re(T ) = W
Teorema 3
Una transformación lineal T : V → Wes inyectiva, si y sólo si, Nu (T ) = {OV }
Isomorfismo
Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Se dice que T es un isomorfismo si T es
inyectiva y T es sobreyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si T es biyectiva.
Espacios Vectoriales Isomorfos
Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales. Se dice que V y W son espacios vectoriales
isomorfos, denotado por V ≅ W , si existe unisomorfismo T : V → W entre ellos.
Teorema 4
Sea T : V → W una transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita,
tales que dim V = dim W , entonces:
1. Si T es inyectiva, T es sobreyectiva.
2. Si T es sobreyectiva, T es inyectiva.
Teorema 5
Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Sea T : V → W una transformación
lineal. Entonces:
1. Si dim V > dim W , Tno es inyectiva.
2. Si dim V < dim W , T no es sobreyectiva.
Lo que quiere decir, que si dim V ≠ dim W , T no es un isomorfismo
Ramiro J. Saltos

-3Teorema 6
Sea T : V → W una transformación lineal, se cumple que:
1. Si T es inyectiva y S = {v1 , v 2 , v3 ,..., v n } es linealmente independiente en V , entonces
S ' = {T (v1 ), T (v 2 ), T (v3 ),..., T (v n )} es linealmente independiente en W
2.Si T es sobreyectiva y G = {v1 , v 2 , v3 ,..., v n } genera a V , entonces
G ' = {T (v1 ), T (v 2 ), T (v3 ),..., T (v n )} genera a W
3. Si T es un isomorfismo y B = {v1 , v 2 , v3 ,..., v n } es una base de V , entonces
B ' = {T (v1 ), T (v 2 ), T (v3 ),..., T (v n )} es una base de W
Operaciones con Transformaciones Lineales
Suma: Sean T1 : V → W y T2 : V → W dos transformaciones lineales. Lasuma entre T1 y T2 ,
denotada por T1 + T2 : V → W , se define como:
∀v ∈ V (T1 + T2 )(v) = T1 (v) + T2 (v)

Multiplicación por escalar: Sea α ∈ R . Sea T : V → W una transformación lineal. Se define la
multiplicación de α por T , denotada por αT : V → W como:
∀v ∈ V (αT )(v) = αT (v)

Composición: Sean T1 : V → U y T2 : U → W dos transformaciones lineales. La composición entre
T1 y T2 , denotada...