Algebra Lineal Matrices

Universidad Distrital Francisco Jos´ de Caldas ´Algebra Lineal matrices


1. Introducci´n o

El problema central en el ´lgebra es la soluci´n de ecuaciones lineales. Una ecuaci´n lineal o ecuaci´n de primer a o o o grado es una igualdad, que involucra una o m´s variables elevadas a la potencia 1; es decir, una ecuaci´n que a o involucra solamente sumas y restas de una variable o masvariables elevadas a la primera potencia. El caso mas simple y reconocido de estos sistemas es cuando el n´mero de inc´gnitas coincide con el n´mero de u o u ecuaciones. Es decir, un sistema de n- ecuaciones y n- inc´gnitas, entre los m´todos para resolver este tipo de o e sistemas se consideran como b´sicos: a M´todo de eliminaci´n: Se sustrae de una ecuaci´n los m´ltiplos de otra ecuaci´n con lo cualel sistema se e o o u o reduce a uno de menor tama˜o (obteniendo un sistema de n − 1 ecuaciones y n − 1 inc´gnitas), el proceso n o se repite hasta obtener el valor de cada una de las inc´gnitas. o M´todo de determinantes: Se introducen los datos dentro de una estructura rectangular denominada e matriz y mediante un proceso conocido como regla de Cramer se soluciona el sistema. En este contexto laeliminaci´n gaussina (la cual ser´ introducida en sesiones posteriores) puede considerarse o a como un m´todo para resolver sistemas de tama˜o m x n. Como ejemplo de los m´todos expuestos anteriormente e n e se considerar´ el sistema de 2- ecuaciones y 2- inc´gnitas dado por: a o 2x − y = x+y = 1 5 (1) (2)

o Usando el m´todo de eliminaci´n y despejando en la ecuaci´n 2 el valor de la inc´gnita´ variable x, se obtiene: e o o o x=5−y Reemplazando con este valor en la ecuaci´n (1), la misma se reduce a: o

1

1= = = = 1 − 10 = −9 =

2x − y

3=

10 − 3y −3y −3y y

2(5 − y) − y 10 − 2y − y

Reemplazando ahora con el valor y = 3 en la expresi´n x = 5 − y, se obtiene: o x= = = Luego, el sistema tiene la soluci´n dada por: o x= y= 2 3 (3) (4) 5−y 5−3

2

La interpretaci´ngeom´trica se obtiene al considerar los objetos geometricos dados en el sistema de ecuaciones o e (1) y (2). En particular la ecuaci´n (1) describe la recta: o 2x − y = 1 ⇒ 2x − 1 = y (5)

Es decir, una recta de pendiente positiva m = 2 y corte en el eje y en el punto (0, −1). Por otra parte la ecuaci´n o descrita en (2) genera la recta: x+y = 5 ⇒ −x + 5 = y (6)

Es decir, una recta dependiente negativa m = −1 y corte en el eje y en el punto (0, 5). Luego, la solucion del sistema conformado por las ecuaciones lineales (1) y (2) viene dado por la interseccion de las rectas y = 2x − 1 e y = −x + 5, que desde luego no es otra que la 2− tupla (x, y) = (2, 3). La segunda interpretacion del sistema hace uso del concepto de vector: Vector: Se llama vector de tama˜o n a una tupla de n n´merosreales o complejos, donde cada n´mero de la n u u n− tupla se denomina componente del vector. Por ejemplo un vector en Rn se encontrar´ definido como: a v = (a1 , a2 , ..., an ) donde ai ∈ R y 1 ≤ i ≤ n

Haciendo uso de esta definici´n, el sitema descrito en las ecuaciones (1) y (2) se reescribe como: o 2 x 1 x 2 1 −1 y = = ⇓ y = 1 5 1 5

+1 y −1 1

x +

2

La ultima expresion se conocecomo la representaci´n del sistema en t´rminos de una combinaci´n lineal. ´ o e o Consideremos ahora el sistema de 3−ecuaciones y 3− inc´gnitas dado por: o 5x + y + z = −x + y − z = x+y+z = 7 −1 3 (7) (8) (9)

El cual se puede expresar como combinaci´n lineal del siguiente modo: o 5 x −1 x +1 y +1 y +1 y +1 z −1 z = = = ⇓ 7 −1 3

1 x

+1 z

Desde luego la soluci´n de este sistema constituyeuna tripla en el espacio que se encuentra dada por la intero secci´n de los planos generados por (7), (8) y (9) como se estudiar´ mas adelante. o a De acuerdo a la cantidad de soluciones que posea un sistema de m−ecuaciones y n−inc´gnitas, estos se clasifican o como: Sistema consistente: Existe al menos una soluci´n que satisface todas las ecuaciones dadas en el sistema. o Sistema inconsistente:...