Algebra lineal

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142
Segundo Semestre, Universidad de Concepción

CAPITULO 9. VECTORES, RECTAS y PLANOS en R3
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
1

Distancia entre puntos de R3 := R × R × R
Definición Sean P = (x1 , y1 , z1 ) y Q = (x2 , y2 , z2 ) dos puntos de R3 . Definimos la distancia entre P y Q como longitud del segmento derecta que une a P y Q, es decir: d(P, Q) = |P Q| Lema Sean P = (x1 , y1 , z1 ) y Q = (x2 , y2 , z2 ) dos puntos de R3 , entonces: d(P, Q) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2

2

Distancia entre puntos de R3
Þ
È È ´Ü½ ݽ Þ½ µ ɴܾ ݾ Þ¾ µ ʴܾ ݾ Þ½ µ È ´Ü½ ݽ ʴܾ ݾ

Þ¾

Þ½

É È Ê Ý½ ݾ

É Ê Î Ì

¼µ ¼µ

ÎÌ ÈÉ

ÈÊ

¾

ÊÉ

¾

·

ÈÊ

¾

ܽ ܾ Ü

Î Ì

Ý3

Distancia entre puntos de R3

Propiedades de d(P, Q). Sean P = (x1 , y1 , z1 ) y Q = (x2 , y2 , z2 ) dos puntos de R3 . Entonces : d(P, Q) = 0 ⇐⇒ P = Q ⇐⇒ x1 = x2 ∧ y1 = y2 ∧ z1 = z2 . d(P, Q) = d(Q, P ). ∀R ∈ R3 : d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q).

4

Vectores en R3
Definición: Vector en R3 . Llamaremos vector en el espacio R3 a toda terna ordenada (a1 , a2 , a3 ), y diremos que a1 , a2y a3 son las tres componentes del vector. Usualmente se denota por a = (a1 , a2 , a3 ). Definición: Igualdad de Vectores en R3 . Sean a = (a1 , a2 , a3 ) y b = (b1 , b2 , b3 ) dos vectores arbitrarios. Entonces: a = b ⇐⇒ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ a3 = b3 .

5

Vectores en R3

Definición: Suma y Producto por Escalar de Vectores. Dados los vectores u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ),definimos: Suma u + v := (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ). Producto por escalar ∀α ∈ R : αu := (αu1 , αu2 , αu3 ). Observación La definición de la operación suma de vectores coincide con la "ley del paralelógramo", según la cual se suman las fuerzas en Física.

6

Vectores en R3
Definición: Norma de un Vector. La norma del vector u = (u1 , u2 , u3 ), denotada por u , se define como u := {u2 + u2 + u2}1/2 1 2 3 Observación ||u|| = d ((0, 0, 0), (u1 , u2 , u3 )) Propiedades. Para vectores u, v en el espacio R3 , y escalares α ∈ R, se tiene: u = 0 ⇐⇒ u = 0 := (0, 0, 0), αu = |α| u , u+v ≤ u + v .
7

Vectores en R3
Observación (a) Decimos que el vector u es unitario, si u = 1, 1 u es unitario, (b) Para todo u ∈ R3 no nulo, u = ˆ ||u||

(c) Los vectores canónicos de R3 son los vectoresunitarios: ˆ ˆ := (1, 0, 0)  := (0, 1, 0) k := (0, 0, 1) ı ˆ los cuales verifican la propiedad : ˆ ∀ u = (a, b, c) ∈ R3 : u = aˆ + bˆ + ck. ı 

8

Vectores en R3
Definición: Producto Interior. Dados los vectores u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ), se llama producto interior, producto punto o producto escalar de los vectores u y v al número real , u · v, definido por u · v := u1 v1 + u2v2 + u3 v3 . u·v también es denotado por u, v ó (u|v).

Propiedades. ∀u, v ∈ R3 : u · v = v · u. u · (αv + β w) = α(u · v) + β(u · w).

(∀u, v, w ∈ R3 )(∀α, β ∈ R) : √ 3 ∀u ∈ R : u = u·u .

9

Vectores en R3
Proposición. Si θ ∈ [0, π] es el menor ángulo entre los vectores u y v, entonces u·v = u Corolario Los vectores u y v de R3 son perpendiculares (u⊥v) si y sólo si u · v = 0.Observación Los vectores canónicos ˆ,  y k, son ortogonales dos a dos. ı ˆ ˆ v cos(θ).

10

Vectores de R3
Cosenos Directores de vectores de R3 . Dado un vector a = (a1 , a2 , a3 ). Los ángulos α, β, γ, entre [0, π], formados por el vector a y los vectores canónicos ˆ,  y k, ı ˆ ˆ respectivamente, se denominan ángulos directores de a. Los cosenos de dichos ángulos, que están dados por cos(α) = a1, a cos(β) = a2 , a cos(γ) = a3 . a

son llamados los cosenos directores de a.

11

Vectores de R3

Þ

­ «

¬

Ý

Ü

12

Vectores de R3
Definición: Producto Vectorial o Producto Cruz. Dados los vectores u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ), se llama producto vectorial o producto cruz de los vectores u y v al vector, u × v, definido por u × v := (u2 v3 − u3 v2 , −(u1...