Algebra Lineal

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Espacios vectoriales

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Definición

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• Un espacio vectorial, es un conjunto no vacio “V”, de objetos llamados vectores (V,+) que esta relacionado con un conjunto no vacio “K” de objetos llamados escalares (K,+,·). • Sunotación es: V(K). • Para que V, sea un espacio vectorial, debe cumplir las siguientes propiedades:

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(V,+), grupo abeliano
Clausura aditiva

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v1 , v 2  V; v1  v 2   V v1 , v 2  V; v1  v 2  v 2  v1 v1 , v 2 , v 3  V; v1  v 2   v 3  v1  v 2  v 3 
Asociativa

Conmutativa

Vector cero o idéntico aditivo

v  V; v  0  v

Inverso aditivov  V; v   v   0

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(K,+,·), operación externa
v  V,   K; v  V ,   K, v  V; v  v
Asociativa
Clausura multiplicativa

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  K, v1 , v 2  V; v1  v 2   v1  v 2 ,   K, v  V;   v  v  v v  V;1v  v
Elemento neutro multiplicativo

Distributividad con respecto a la suma vectorial

Distributividad conrespecto a la suma escalar

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Observación

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Para que V(K), sea un grupo abeliano, debe cumplir la propiedad de la clausura de la adición y para que tenga una operación externa, debe cumplir la propiedad de la clausura multiplicativa.

v1 , v 2  V; v1  v 2   V v  V,   K; v  V
Entonces se cumplirán todas las otras propiedades

Volver a MenúEjemplo 1

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Sea V  0 . Es decir, V consiste sólo en el numero

0 y R cuerpo de V, es decir, todos los reales. Para que V sea un espacio vectorial, debe cumplir las propiedades de clausura:
1 2

v1 , v 2  V; v1  v 2   V  0  0  0,0  V v  V,   K; v  V  1  0  0,0  V 2

Como V cumple con todas las propiedades, entonces V es un espacio vectorial sobreR, es decir, V(R)={0}.

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Ejemplo 2

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Sea V    . Es decir, V consiste sólo en el numero 1

1 y R cuerpo de V, es decir, todos los reales. Para que V sea un espacio vectorial, debe cumplir las propiedades de clausura:
1 2

v1 , v 2  V; v1  v 2   V  1  1  2,2  V v  V,   K; v  V  1 1  1 , 1  V 2 2 2
Como V NO cumple laspropiedades, entonces V NO es un espacio vectorial sobre R.

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Ejemplo 3

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 x   Sea K  R  V  M 2 x1  ; x, y  R; x  y  y    Para que V sea un espacio vectorial, debe cumplir las propiedades de clausura:
1

v1 , v 2  V; v1  v 2   V

2

v  V,   K; v  V

 3  2  3  6  1  3  1  3   4  v  2      v1  v 2         3  2  3   6     1  3  1  3   4                 6  4  V  V  6  4     Como V cumple con todas las propiedades, entonces V es un espacio vectorial sobre R , es decir, VR  .

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Subespacios vectoriales

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Definición

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• Sea V un espacio vectorial y A V, entonces A es subespacio de V si y solo A es un K-espacio vectorial con las mismas operaciones (suma y producto por un escalar) de V. • Su notación es: AV , es decir, A es subespacio vectorial de V

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Para que A, sea un subespacio vectorial de V, debe cumplir las siguientespropiedades:

0v  A  A  o  v1 , v 2  A; v1  v 2  A   K, v  A; v  A
Siendo 0  0 v

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Observación
Todo espacio vectorial tiene dos subespacios llamados triviales:

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1 : 0 v V
ro

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

2 : VV
Un espacio vectorial es un subespacio de si mismo.

do

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Ejemplo...