algebra lineal

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM
a
17 de junio de 2008

´
Indice
20.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . .
o
20.2. Vector de coordenadas . . . . . . .
20.3. Vector de Coordenadas y Rm . . .
20.4. Matriz de transici´n: Introducci´n
o
o

20.1.

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1
1
4
5Introducci´n
o

En este tema se presenta el concepto de vector de coordenadas. Este concepto surge de la necesidad de
introducir nuevos sistemas coordenados o sistemas coordenados que mejor se adapten a una situaci´n.
o

20.2.

Vector de coordenadas

Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita con base B = {v1 , . . . , vn }. Seg´n un teorema anterior,
o
u
para cada v ∈ V existenescalares unicos c1 ,. . . ,cn tales que:
´
v = c1 v 1 + · · · + c n v n
Definici´n 20.1
o
El vector en Rn cuyas componentes son los coeficientes de v, expresado como [v]B , se llama vector
de coordenadas o vector coordenado de v con respecto a B:


c1
 . 
[v]B =  . 
.
cn

Nota
Observe que [v]B se modifica cuando cambia la base B. Tambi´n [v]B depende del orden de los elementosde
e
B. Mantendremos fijo este orden usando siempre una base ordenada: este concepto se referir´ a una base que
a
a pesar de ser conjunto se considerar´ en un orden determinado. Recuerde que en la definici´n matem´tica de
a
o
a
conjunto, el orden de los elementos no afecta el conjunto, sin embargo, en la definici´n de base ordenada el
o
orden es importante.
Teniendo disponible una gr´fica aveces es posible determinar con relativa facilidad los vectores de coordendas.
a

4

2

0
-6

-4

-2

0

2

4

6

-2

-4

Figura 1: Nuevo Sistema Coordenado
Ejemplo 20.1
Si

2
1

B=
Se tiene

3
3

=
B

2
1

,

−1
1
−3
0

,

−1
1

=
B

Para ello vea la figura 1.
Ejemplo 20.2
Determine el polinomio p(x) sabiendo que su vector decoordenadas respecto a la base
B = {v1 = 1 − 7 x, v2 = −5 − 4 x}
es

−6
2

[p(x)]B =

Soluci´n
o
Recuerde que el vector de coordenadas se forma con los coeficientes de la combinaci´n lineal de los elementos
o
de la base para dar el vector: por tanto
p(x) = −6 v1 + 2 v2 ,
es decir
p(x) = −6 (1 − 7 x) + 2 (−5 − 4 x) ,
por tanto
p(x) = −6 + 42 x − 10 − 8 x = −16 + 34 x
Ejemplo 20.3Determine la matriz m sabiendo que su vector de coordenadas respecto a la base
B=

−3
5
1 −7

,

7
0
−5 −6

,
2

1 −1
−1 −4

,

−7 −3
−3 −2

es
[m]B




−1
 −2 

=
 −4 
3

Soluci´n
o
Directamente de la definici´n de vector de coordenadas:
o
m = −1

−3
1

5
−7

7
−5

−2

0
−6

+4

1
−1

−1
−4

+3

−7
−3

−3
−2

desarrollandolos productos
m=

3
−1

−5
7

+

−14
10

0
12

4
−4
−4 −16

+

+

−21
−9

por tanto
m=

−28 −18
−4 −3

Ejemplo 20.4
En P1 , determine el vector de coordenadas del polinomio
p(x) = −2 − 5 x
respecto a la base ordenada
B = {v1 = 2 − 4 x, v2 = 4 + x}
Soluci´n
o
Buscamos escalares c1 y c2 tales que:
−2 − 5 x = p(x) = c1 (2 − 4 x) + c2 (4 + 1 x)
Es decir
−2 −5 x = (2 c1 + 4c2 ) + (−4 c1 + 1 c2 )x
Esto se convierte en el sistema

2 c1 + 4 c2 = −2
−4 c1 + 1 c2 = −5

Formando la matriz aumentada y reduci´ndola
e
2 4 −2
−4 1 −5

→

1 0
1
0 1 −1

Por tanto, c1 = 1 y c2 = −1 y
1
−1

[p(x)]B =

Ejemplo 20.5
En M2×2 , determine el vector de coordenadas de la matriz
m=

−4 −1
5
4

3

−9
−6

respecto a la base ordenada
4...