Algebra Lineal

TRABAJO MATEMÁTICAS ESPECIALES
MATEMATICAS ESPECIALES 1 Profesor: Harold Vacca González Nombres: Paula Andrea Gonzalez Lopez Cód: 20101073048. 1. Desigualdad de Cauchy-Schwartz ! ! U ; V 2 Rn !! jU :V j ! ! U ; V no nulos

! ! jj U jj:jj V jj

El unico caso en que dicha desigualdad es una igualdad es: !! ! ! ! ! j U : V j = jj U jj:jj V jj si U = K V K2R DEMOSTRACION: Se construye unafuncion: P( P( P( P( ! ! 2 ) = jj U V jj 0 ! ! ! ! )=( U V ):( U V) 0 !! ! ! !! 2! ! ) = U :U U :V U : V + V: V ! 2 !! ! ) = 2 jj U jj 2 U : V + jj V jj2 0

0

Ahora se iguala a una constante para hacer mas simple el calculo: ! a = jj U jj2 !! b = 2U :V ! c = jj V jj2

P ( ) = 2a b+c 0 b2 b2 b P ( 2a ) = 4a 2a + c 0 b2 b P ( 2a ) = 4a + c 0 b2 4ac

Por ultimo, se reemplaza: !! ! ! (2 U : V )24jj U jj2 :jj V jj2 !! ! ! j U : V j2 jj U jj2 :jj V jj2 q q ! ! 2 ! ! 2 j U : V j2 jj U jj2 :jj V jj2 Y obtenemos: !! ! ! j U : V j jj U jj:jj V jj 1

2. Desigualdad Triangular ! ! U ; V 2 Rn ! ! U ; V no nulos

Se recuerda el Teorema de Cauchy-Schwartz !! ! ! j U : V j jj U jj:jj V jj ! ! U ; V 2 Rn ! ! ! ! jj U + V jj jj U jj + jj V jj DEMOSTRACION: ! ! ! ! ! ! jj U + V jj2 = ( U + V ):( U +V ) ! ! !! !! !! !! jj U + V jj2 = U : U + U : V + V : U + V : V ! ! 2 ! !! ! jj U + V jj = jj U jj2 + 2 U : V + jj V jj2 ! ! ! ! ! ! jj U + V jj2 jj U jj2 + 2jj U jj:jj V jj + jj V jj2 ! ! 2 ! ! 2 jj U + V jj (jj U jj + jj V jj) q q ! ! 2 ! ! 2 2 jj U + V jj (jj U jj + jj V jj)2 Y obtenemos: ! ! ! ! jj U + V jj jj U jj + jj V jj

3. Familias Ortogonales, (demostrar que las siguientes familiasson ortogonales) F 1 = fsin x; sin 2x; :::; sin kxg R R < sin mx; sin nx >= sin(mx) sin(nx)dx = =
1 1 nx) 2 cos (mx 2 cos (mx sin(m n)x 1 sin(m+n)x )j ( m n )j ] 2 [( m+n 1 = 2 (0)

+ nx) dx

=0 < sin mx; sin nx >= 0 ! F 1 es un conjunto ortogonal F 2 = f1; cos x; cos 2x;R:::; cos mxg R < cos mx; cos nx >= cos(mx) cos(nx)dx = =

=0 < cos mx; cos nx >= 0 ! F 2 es un conjunto ortogonal F 3 =f1; sin x; cos x; sin 2x; cos 2x; :::; sin kx; cos mxg < sin mx; sin nx >= 0 !Por demostracion de F 1 C[ ; < cos mx; cos nx >= 0 ! Por demostracion de F 2 C[ < sin kx; cos mx >= R sin(kx) cos(mx)dx = 2 R
1 2

1 1 2 cos (mx + nx) 2 cos (mx sin(m n)x 1 sin(m+n)x )j ( m n )j ] 2 [( m+n 1 = 2 (0)

nx) dx

] ; ] 1 2

sin (kx + nx) +

sin (kx

nx) dx

= 1 [( 2

=0 < sin kx; cos mx >=Entonces al cumplir todas las condiciones F 3 es un conjunto ortogonal 4. Hallar la norma de las siguientes familias en C[
; ]

cos(k+m)x )j k+m 1 = 2 (0)

( cos(k k

m)x )j m

]

F 1 = fsin x; sin 2x; :::; sin kxg qR p sin(kx) sin(kx)dx jj sin kxjj = 2 < sin kx; sin kx > = 2 R R 1 1 sin(kx) sin(kx)dx = 2 2 cos 2kx dx qR
2

1 sin 2kx = xj 2 2 ( 2k )j = 2+2 =p sin(kx) sin(kx)dx = 2 !Norma de F 1

F 2 = f1; cos x; cos 2x; :::; cos mxg qR p jj cos mxjj = 2 < cos mx; cos mx > = 2 cos(mx) cos(mx)dx R R 1 1 cos(mx) cos(mx)dx = 2 + 2 cos 2mx dx x 2mx = 2 j + 1 ( sin2m )j 2 = 2+2 = p qR 2 cos(mx) cos(mx)dx = 2 ! Norma de F 2 F 3 = f1; sin x; cos x; sin 2x; cos 2x; :::; sin kx; cos mxg p Por las demostraciones anteriores la norma de F 3 ! 2

5. Hallar la norma de las siguientesfamilias en C[0;1] F 1 = fsin x; sin 2x; :::; sin kxg qR p 1 jj sin kxjj = 2 < sin kx; sin kx > = 2 0 sin(kx) sin(kx)dx R1 R1 1 sin(kx) sin(kx)dx = 0 1 2 cos 2kx dx 2 0 = x j1 2 0 1 =2 1 =2 qR q 1 2 sin(kx) sin(kx)dx = 2 1 2 0
1 sin 2kx 1 2 ( 2k )j0 1 sin 2kx [ 2k ] 2 1 sin 2kx 4 k 1 sin 2kx ! Norma 4 k

de F 1

F 1 = f1; cos x; cos 2x; :::; cos mxg qR p 1 jj cos mxjj = 2 < cos mx; cos mx > = 20 cos(mx) cos(mx)dx 3

R1
0

6. Convertir las anteriores familias ortogonales en ortonormales Primero se divide cada elemento del conjunto por la norma del mismo: p p p F 1 = f sin x ; sin 2x ; :::; sin kx g 2 2 2 q R q sin kx sin kx sin kx sin(kx) sin(kx)dx jj jj = 2 < p ; p > = 2 1 2 2 R R 1 1 sin(kx) sin(kx)dx = 2 2 cos 2kx dx
1 sin 2kx 2 ( 2k )j

R1 1 cos(mx) cos(mx)dx = 0 1 + 2...