Algebra Lineal

RESUMEN DE ALGUNOS ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
1.- Cálculo de determinantes. Supongamos que queremos calcular :
0 0 −1 0 − 2 0 − 1 (a) = ( −2) ⋅ A 11 + 0 ⋅ A 12 + 0 ⋅ A 13 + ( −1) ⋅ A 14 A = 0 0 −2 −1 −1 −1 −1 0
( b)

−2

−2
1+1

= ( −2) ⋅ ( −1)

0 −1 0 −2 0 1+ 4 0 − 2 − 1 + ( −1) ⋅ ( −1) 0 0 −2 −1 −1 0 −1 −1 −1

(c)

= ( −2) ⋅ ( −1) 2 ⋅ 4 + ( −1) ⋅ ( −1) 5 ⋅ ( −4) = −8 − 4 = −12donde :
−2 0 −1 (d) 0 − 2 − 1 = ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ 0 + 0 ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) + ( −1) ⋅ 0 ⋅ ( −1) − [ ( −1) ⋅ ( −2) ⋅ ( −1) + 0 ⋅ 0 ⋅ 0 + ( −2) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1)] = 4 −1 −1 0 0 −2 0
(d)

0 0 − 2 = 0 ⋅ 0⋅ ( −1) + ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −1) + 0 ⋅ 0 ⋅ ( −1) − [ 0 ⋅ 0 ⋅ ( −1) + ( −2) ⋅ 0 ⋅ ( −1) + 0 ⋅ ( −2) ⋅ ( −1)] = −4 −1 −1 −1

o

alternativamente, calculando el primer determinante de esta otra forma:
− 2 0 − 1 − 2 0 ( −1) ⋅ 1 −2 0 1 − 2 + 2 ⋅1 0 1 0 0 1 (g) ( e) (f ) 0 − 2 − 1 = 0 − 2 ( −1) ⋅ 1 = ( −1) ⋅ 0 − 2 1 = ( −1) ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 − 2 1 = ( −1) ⋅ 2 − 2 1 −1 −1 0 − 1 − 1 ( −1) ⋅ 1 −1 −1 0 −1+2⋅0 −1 0 −1 −1 0
(a)

= ( −1) 0 ⋅ A11 + 0 ⋅ A12 + 1 ⋅ A13 = ( −1) ⋅ 1 ⋅ ( −1)1+ 3

[

]

( b)

2

−2

−1 −1

= ( −1) ⋅ 1 ⋅ ( −1) 4 [ 2 ⋅ ( −1) − ( −2) ⋅ ( −1)] = 4

(a) Método deadjuntos : “un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (/columna) por sus respectivos adjuntos”. Se llama adjunto del elemento aij, y se representa por Aij aldeterminante que resulta de la supresión de la fila i y columna j multiplicado por (-1)i+j. En este caso hemos aplicado el resultado sobre la primera fila. (b) Sustituyendo los adjuntos por su expresión.(c) Calculando los determinantes resultantes 3×3 (ver más abajo). (d) Regla de Sarrus : “|A|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33”

1

(e) Método del pivote : Consiste enmodificar los elementos de una fila (/columna) haciendo operaciones con columnas (/filas) para que todos los elementos de la fila (/columna) salvo uno, que llamamos pivote, sean cero, y luego aplicar...