Algebra Lineal
Páginas: 10 (2270 palabras)
Publicado: 21 de mayo de 2012
ÁLGEBRA LINEAL NOTAS DE CLASE ESPACIOS VECTORIALES
Diciembre de 2011 Docente: Lorena Maritza Terrios Guzmán
Definición 1: Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones , llamadas suma vectorial y producto por escalar, respetivamente. Se dice que V es un espacio vectorial real si se cumplen los siguientes axiomas: (A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V Este axioma seconoce como el axioma de cerradura bajo la suma. (A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma. (A3) Para cualesquiera tres vectores u, v y w en V ( ) ( )
Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma. (A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por tal que para cualquier vector u V se cumple y que sellamará el vector cero
Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro. (A5) Para cada vector u V existe un único vector en V simbolizado por que cumple
( ) Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos. (M1) Para cualquier vector u V y para cualquier escalar c R se cumple
Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo lamultiplicación por escalar. (M2)Para cualesquiera dos vectores u y v en V y para cualquier escalar c en R se cumple ( ) ( ) ( ) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalar sobre la suma de vectores.
(M3) Para cualquier vector u (
V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple ) ( ) ( )
Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del productopor escalar sobre la suma escalares. (M4) Para cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple ( ) ( )
Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar. (M5) Para cualquier vector u V se cumple es un espacio vectorial, ).
Si V es un conjunto no vacío con las operaciones entonces se acostumbra denotarlo por laterna (
Ejemplos Veamos algunos de los espacios vectoriales que utilizaremos. 1. Sea con las operaciones operaciones es un espacio vectorial. (A1) Porque si , entonces y por tanto se tiene por la propiedad , veamos que V con tales
(A2) Efectivamente, Esto conmutativa del producto de los números reales.
( ) ( ) ( ) ( ) (A3) ( ) . Esto se tiene por la propiedad asociativa del producto de losnúmeros reales. (A4) En V existe un elemento neutro tal que 1 x = 1 · x = x = x · 1 = x 1, para cualquier x en V. (A5): Todo elemento de V posee un inverso aditivo en V. Efectivamente, si x V, entonces, también está en Puesto que si . / . , también se cumple que
.
, y cumple la propiedad además
(M1) Efectivamente, pues si (M2) ( ) (
, entonces ) ( )
y (
para todo número c. ) ( ). Esto válido por la ley de los exponentes con bases positivas. ) (M3) ( ( ) ( ). Esto se tiene por la ley de los exponentes con bases positivas. ( ) ( ). (M4) ( ) Esto es válido por la ley de los exponentes con bases positivas. (M5) Por lo tanto ( ) es un espacio vectorial. ( ) )
2. Sea V = R2, con la suma vectorial y producto por escalar usuales, esto es si ( ), entonces ( ) ( ) ( ( ) ( ) yVeamos que V = R2 es un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales. Sean (A1) (A2)
(
( (
)
), )
(
( (
) (
) )
( (
)
) en )
( ) ( ) ( )
Por propiedad conmutativa de la suma de números reales. (A3)
( ( ) ) ( ( ) ) .(
)
(
)/
(
)
((
)(
))
)
( ) ( ( )) (( ) ( Por propiedad asociativa de la suma de números reales.
)
)
((A4)Existe
(
)
(
( ( )
) en ) ( ( ) (( ( ) en
elemento neutro tal que ) ) existe ( ( ( ) ( ) en tal que )) ( )
(A5) Para cada ( ) ( (M1) (M2) =( (M3): ( ( (M4): ( (M5): ) ( ) ( ( )
) ) ) ( ) )
( ( ) ( ) ((
)) ) ((
( ( ) ) ( ( ( ) (
) ) ) ) ) ( ( ( ) ) (
( (
) (
))
) ( ) ) (
( ( )
) )) ( )
) ) (
(
)
Por lo tanto ( Nota: ...
Diciembre de 2011 Docente: Lorena Maritza Terrios Guzmán
Definición 1: Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones , llamadas suma vectorial y producto por escalar, respetivamente. Se dice que V es un espacio vectorial real si se cumplen los siguientes axiomas: (A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V Este axioma seconoce como el axioma de cerradura bajo la suma. (A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma. (A3) Para cualesquiera tres vectores u, v y w en V ( ) ( )
Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma. (A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por tal que para cualquier vector u V se cumple y que sellamará el vector cero
Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro. (A5) Para cada vector u V existe un único vector en V simbolizado por que cumple
( ) Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos. (M1) Para cualquier vector u V y para cualquier escalar c R se cumple
Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo lamultiplicación por escalar. (M2)Para cualesquiera dos vectores u y v en V y para cualquier escalar c en R se cumple ( ) ( ) ( ) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalar sobre la suma de vectores.
(M3) Para cualquier vector u (
V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple ) ( ) ( )
Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del productopor escalar sobre la suma escalares. (M4) Para cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple ( ) ( )
Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar. (M5) Para cualquier vector u V se cumple es un espacio vectorial, ).
Si V es un conjunto no vacío con las operaciones entonces se acostumbra denotarlo por laterna (
Ejemplos Veamos algunos de los espacios vectoriales que utilizaremos. 1. Sea con las operaciones operaciones es un espacio vectorial. (A1) Porque si , entonces y por tanto se tiene por la propiedad , veamos que V con tales
(A2) Efectivamente, Esto conmutativa del producto de los números reales.
( ) ( ) ( ) ( ) (A3) ( ) . Esto se tiene por la propiedad asociativa del producto de losnúmeros reales. (A4) En V existe un elemento neutro tal que 1 x = 1 · x = x = x · 1 = x 1, para cualquier x en V. (A5): Todo elemento de V posee un inverso aditivo en V. Efectivamente, si x V, entonces, también está en Puesto que si . / . , también se cumple que
.
, y cumple la propiedad además
(M1) Efectivamente, pues si (M2) ( ) (
, entonces ) ( )
y (
para todo número c. ) ( ). Esto válido por la ley de los exponentes con bases positivas. ) (M3) ( ( ) ( ). Esto se tiene por la ley de los exponentes con bases positivas. ( ) ( ). (M4) ( ) Esto es válido por la ley de los exponentes con bases positivas. (M5) Por lo tanto ( ) es un espacio vectorial. ( ) )
2. Sea V = R2, con la suma vectorial y producto por escalar usuales, esto es si ( ), entonces ( ) ( ) ( ( ) ( ) yVeamos que V = R2 es un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales. Sean (A1) (A2)
(
( (
)
), )
(
( (
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) )
( (
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Por propiedad conmutativa de la suma de números reales. (A3)
( ( ) ) ( ( ) ) .(
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( ) ( ( )) (( ) ( Por propiedad asociativa de la suma de números reales.
)
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((A4)Existe
(
)
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elemento neutro tal que ) ) existe ( ( ( ) ( ) en tal que )) ( )
(A5) Para cada ( ) ( (M1) (M2) =( (M3): ( ( (M4): ( (M5): ) ( ) ( ( )
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