Algebra Lineal

1.

Espacio Vectorial

Definici´n 1.1 Un conjunto no vac´o V sobre un cuerpo K, junto con dos operao ı ciones +, · es un espacio vectorial (o espacio lineal), si satisface los siguientes axiomas a) Para cualquier x, y de V un vector x + y de V y adem´s se tiene las siguientes a propiedades i) Clausurativa x + y es un elemento unico de V ´ ii) Conmutativa: x + y = y + x iii) Asociativa: x + (y+ z) = (x + y) + z iv) Existe un unico vector 0 de V , llamado vector nulo: x + 0 = x ´ v) Para cada vector x ∈ V , existe un unico vector −x ∈ V : x + (−x) = 0 ´ b) La operaci´n multiplicaci´n por escalar, asocia a cada escalar α ∈ K y cada o o x ∈ V un vector αx ∈ V y tiene las siguientes propiedades i) Para cualquier α ∈ K y x ∈ V , αx es un vector de V . ii) 1x = x para todo x ∈ V iii) (α1 α2)x = α1 (α2 x) iv) α(x + y) = αx + αy v) (α1 + α2 )x = α1 x + α2 x

2.

Subespacio

Definici´n 2.1 Un subconjunto no vac´o W de un espacio vectorial V es un subeo ı spacio de V si y s´lo si W , conjuntamente con las operaciones de suma y de mulo tiplicaci´n escalar definida en V , es en s´ mismo un espacio vectorial. o ı Teorema 2.1 Si (V, +, ·) es un espacio vectorial y W es un subconjunto novac´o ı de V , entonces W es un subespacio de V si i) para todo x, y de W , x + y est´n en W a ii) para todo α ∈ R y para todo x ∈ W , α · x est´ en W . a

3.

Dependencia Lineal

Definici´n 3.1 Un conjunto no vac´o {X1 , X2 , . . . , Xn } de vecctores (diferentes) de o ı un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y s´lo si existen escalares o α1 , α2 , . . . , αn no todos cero,tales que α1 X1 + α2 X2 + . . . + αn Xn = 0. La negaci´n de dependencia lineal es independencia lineal. o

1

4.

Independencia Lineal

Definici´n 4.1 Un conjunto no vac´o de vecctores {X1 , X2 , . . . , Xn } de un eso ı pacio vectorial V es linealmente independiente si y s´lo si existen escalares o α1 , α2 , . . . , αn si α1 X1 + α2 X2 + . . . + αn Xn = 0 entonces α1 = α2 = . . . = αn = 0.Ejemplo 1 Determinar si los siguientes conjuntos de vectores coordenados son linealmente independientes o linealmente dependientes. a) C = {X1 = (1, 2, 6), X2 = (2, 4, 12)}. b) D = {X1 = (1, 2, 0, 1), X2 = (2, 4, −1, 0), X3 = (0, 0, 1, 0)}.

5.

Bases

Definici´n 5.1 Sean V un espacio vectorial. Una base de V es un conjunto de o vectores lineales independientes de V que genera el espacio V .El espacio V es de dimensi´n finita si tine una base finita. o Ejemplo 2 (a) Demuestre que cada uno de los conjuntos B1 = {(1, 0), (0, 1)} y B2 = {(2, 3), (1, 1)} es una base para R2 . (b) Demuestre que cada uno de los conjuntos C1 = {f1 : x2 , f2 : x, f3 : 1} y C2 = {g1 : x2 , g2 : 3x + 4, g3 : 4} es una base para P 3 .

6.

Dimensi´n o

Definici´n 6.1 La dimensi´n es un espacio vectorial V ={0} es n si y s´lo si V o o o tiene una base que contenga n vectores. En el caso trivial en que V = {0} diremos que V tiene dimensi´n 0. o Teorema 6.1 Sea V un espacio vectorial generado por un conjunto finito de vectores x1 , x2 , . . . , xm , Entonces todo conjunto independiente de vectores de V es finito y no contine mas de m elementos. Corolario 6.1 Si V es un espacio vectorial de dimensi´nfinita, entonces dos bases o cualesquiera de V tiene el mismo n´mero (finito) de elementos. u Corolario 6.2 Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita y sea n = dim V . o Entonces (a) Cualquier subconjunto de V que contenga m´s de n vectores es linealmente a dependiente, (b) ning´n subconjunto de V que contenga menos de n vectores puede generr V . u Lema 6.1 Sea S un subconjunto linealmenteindependiente de un espacio vectorial V . Sup´ngase que x es un vector de V que no pertenece al subespacio generado por S. o Entonces el conjunto que se obtine generando x a S, es linealmente independiente. 2

Corolario 6.3 Si W es un subespacio propio de un espacio vectorial de dimensi´n o finita V , entonces W es de dimensi´n finita y dim W < dim V o Corolario 6.4 En un espacio vectorial V de...