Algebra Lineal

Matriz traspuesta
Sea [pic] una matriz con [pic]filas y [pic]columnas. La matriz transpuesta, denotada con [pic]está dada por
[pic]
En donde el elemento [pic] de la matriz original [pic] se convertirá en el elemento [pic] de la matriz transpuesta [pic].

Ejemplos

[pic]
[pic]
Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:
[pic]

Propiedades

1. Para toda matriz[pic]
[pic]
2. Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo [pic] y sea [pic]:
[pic]
[pic]
3. Si el producto de las matrices [pic] y [pic] está definido,
[pic]
4. Si [pic] es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces
[pic]
es semidefinida positiva.

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada [pic] es simétrica sicoincide con su transpuesta, esto es si
[pic]
Es antisimétrica si coincide con su negativa.
[pic]
Si los elementos de la matriz [pic] son números complejos y su transpuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.
[pic]
y antihermítica si
[pic]








Matriz Inversa

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadradaA de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que
AA−1 = A−1A = In,
Donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.
Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si ysolo si su determinante es cero.
“La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.”

Ejemplos


Matriz de dos filas

Por ejemplo la inversa de la matriz [pic]
es:
[pic]
porque:
[pic]

Matriz de tres filas

La inversa de la matriz
[pic]
es la matriz:
[pic]
porque:
[pic]

Propiedades de la matriz inversa

1. La inversa de unamatriz, si existe, es única.
2. La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:
[pic]
3. Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:
[pic]
4. Y, evidentemente:
[pic]
5. Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A esdistinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:
[pic]
donde [pic]es el determinante de A y [pic]es la transpuesta de la matriz de adjuntos de A.

Demostración de la unicidad de la inversa

Supongamos que B y C son inversas de A
[pic]
[pic]
Multiplicando por C
[pic]
[pic]
De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

Demostración del criterio de inversibilidad delas matrices cuadradas

Se probará la doble implicación.

Suficiencia [pic]

Suponiendo que existe [pic]tal que [pic]. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene
[pic]
Usando la propiedad [pic]
[pic]
Por lo tanto, [pic]es distinto de cero.
[pic]

Necesidad [pic]

Suponiendo que el determinante de [pic] es distinto de cero, sea [pic] es el elemento ij dela matriz [pic] y sea [pic] la matriz [pic] sin la fila [pic] y la columna [pic](comúnmente conocida como [pic]-ésimo menor de A). Entonces
[pic]
Sea [pic], entonces
[pic]
Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a una matriz con la columna [pic] igual a la columna [pic] y los demás términos iguales a los de[pic]. Entonces
[pic]
donde [pic]cuando [pic]y [pic]cuando [pic]. Entonces
[pic]
Es decir que [pic] tiene inversa izquierda
[pic]
Como [pic], entonces [pic]también tiene inversa izquierda que es
[pic]
Entonces
[pic]
Luego, aplicando la transpuesta
[pic]
Que es lo que se quería demostrar

Métodos de inversión de matrices


Solución analítica...