Algebra lineal

Grado en Ingeniería. Matemáticas II

TEMA 3. ÁLGEBRA LINEAL
1- INTRODUCCION
El espacio Rn. Rango de una familia de vectores

.

Definiciones 1
Rn = { ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) | x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ R } (n-tuplas de nos reales ordenadas)
Definimos en este conjunto 2 operaciones:
Suma (+) Para cualesquiera 2 elementos, ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) , ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) deRn
( x 1 , x 2 , . . . , x n ) + ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , x n + y n ) ∈ Rn
Producto por un escalar (.R)
t.( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ( tx 1 , tx 2 , . . . , tx n ) ∈ Rn
Se dice que el conjunto Rn con estas dos operaciones tiene estructura de espacio
vectorial sobre el cuerpo R y por ello sus elementos pueden ser llamados vectores.
Un subconjunto Sde Rn es un subespacio vectorial de Rn si
∀ u, v ∈ S; ∀ t, s ∈ R se verifica que t u + s v ∈ S.
Definiciones 2.
El vector v ∈ Rn se dice que es combinación lineal de los vectores v1,v2,....,vr
(∈ Rn) si existen números reales (escalares) t1, t2,...., tr tal que
v = t1v1 + t2v2 +......+ trvr.
Ejemplo. En R3 el vector (5, 13, 2) es combinación lineal de (2, 1, 2) y (1, 4, 0) pues
existen losdos números: 1 y 3 tales que (5, 13, 2) =1.(2, 1, 2) +3.(1, 4, 0), por lo tanto
el primer vector es combinación lineal de los otros dos.
El conjunto de vectores que son combinación lineal de v1, v2,...., vr, es un
subespacio vectorial de Rn. Lo denotaremos por < v1, v2,...., vr >.
Si S = < v1, v2,...., vr > se dice que S está generado por v1 ,v2,....,
vr o bien que { v1, v2,...., vr } es unsistema generador de S.
Definición 3.
Los vectores v1, v2,...., vr ∈Rn se dicen linealmente independientes (l.i.) ( o
bien que la familia de vectores{ v1, v2,...., vr} es libre) si cualquier combinación lineal
de ellos igualada a “0” obliga a que todos los escalares sean cero, es decir

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Si t1v1 + t2 v2+......+ trvr = 0 (vector nulo de Rn)

⇒t1 = t2 =.....= tr =0

Ejemplo. Los vectores (1, 2) y (2, 5) de R2 son linealmente independientes, pues si
existen dos escalares t1 y t2 tales que t1.(1, 2) + t2.(2, 5) = (0,0) (el "0" de R2) implica
 t1 + 2 t 2 = 0
que (t1+2t2, 2t1+5t2)=(0,0) luego 
. Resolviendo este sistema se obtiene
 2 t1 + 5 t 2 = 0
que c1 = c2 = 0. Por lo tanto son linealmente independientes. Sin embargo no loson los
vectores (1, 2) y (2, 4).
Propiedades
i) Si una familia de vectores es libre ningún vector de ésta se puede poner como
combinación lineal de los demás.
ii) Cualquier familia de vectores que contenga al vector nulo no es libre.
iii) Si S es una familia libre de vectores entonces cualquier subfamilia de S también lo
es.
iv) En Rn, los n vectores

 (a 11 , a 12 ,......., a 1n )
(0, a ,......., a )
22
2n

(0, 0, a 33 ,..., a 3n )

(*) 
con aij∈R y aii ≠ 0,
 .............................
 .............................

(0, 0, 0,... , a nn )

son linealmente independientes. Por iii), cualquier subfamilia de esa familia
también es libre.
Ejemplo. En R4 la familia de vectores { (1, 2, 4, 5), (0, 2, 0, 1), (0, 0, 3, 1), (0, 0, 0, 4)}
es libre. Perotambién lo son por ejemplo sus subfamilias: { (1, 2, 4, 5), (0, 2, 0, 1), (0,
0, 0, 4)} o { (0, 0, 3, 1), (0, 0, 0, 4)}.
La ventaja de la familia anterior (*) es que si los vectores son de ese tipo, resulta
sencillo ver que son linealmente independientes.
Definiciones 4
Una familia de vectores de un espacio vectorial que sea sistema generador de
éste y además sea libre se denomina de Base dedicho espacio.
Los vectores de Rn
e1 = (1, 0,....,0), e2 = (0, 1, 0, ...,0), e3 = (0, 0, 1, ...,0)... en = (0, 0, ...,1)
constituyen una base de Rn. Se verifica que todas las bases de Rn tienen el mismo
número de vectores y a dicho número se le denomina dimensión del espacio. La
dimensión de Rn es por lo tanto n (Notación: dim (Rn) = n).
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Ejemplo...