ALGEBRA LINEAL

4.1 Definición de espacio vectorial
Del latín spatĭum, el espacio puede ser la extensión que contiene la materia existente, la capacidad de un lugar o la parte que ocupa un objeto sensible.
Vectorial, por su parte, es lo perteneciente o relativo a los vectores. Este término, de origen latino, refiere al agente que transporta algo de un lugar a otro o a aquello que permite representar unamagnitud física y que se define por un módulo y una dirección u orientación.
La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.El concepto de espacio vectorial tiene sus orígenes más remotos en el siglo XVII, con ideas sobre matrices y sistemas de ecuaciones. El matemático y filósofo italiano Giuseppe Peano (1858-1932) suele ser señalado como el responsable de la primera formulación axiomática sobre el espacio vectorial, a finales del siglo XIX. Actualmente la representación gráfica de un espacio vectorial incluye a losvectores (con el símbolo de flecha) encadenados, con la unión de los extremos.
Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales, pueden mencionarse las rutinas de compresión de imágenes o sonido o la resolución de ecuaciones en derivadas parciales.
Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presentan lamisma cardinalidad.
Concepto http://definicion.de/espacio-vectorial/#ixzz2miFUwzQE

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple paraidentificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:
0єW
W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.
W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.


Corolario: W es unsubespacio de V si y solo si:
0єW.
au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.


Ejemplo: sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. probemos que la intersección UW es también subespacio de V. claramente, 0U y 0W, porque U y W son subespacios, de donde 0UW. supongamos ahora que u, vUW. entonces u, vU y u, vE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuU y u+v, kuW para cualquierescalar k. así u+v, kuUW y por consiguiente UW es un subespacio de V. El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución detal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0W además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y Av=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A(au+bv)=aAu+bAv=a0+b0=0+0=0. Deesta manera, au + bv es también una solución de AX=0 o, dicho de otro modo, au+bvW. En consecuencia, según el corolario, hemos demostrado:

Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas AX=0 es un subespacio de kn.

Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema inhomogéneo AX=B no es subespacio de Kn. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho...