Algebra Lineal
Páginas: 3 (681 palabras)
Publicado: 22 de septiembre de 2012
Teorema 9.11 Los polinomios característico y mínimo de una matriz A tiene los mismos factores irreducibles.
▪ Afirma que cualquier factor irreducible de uno de ellos debe dividir alotro
▪ Un factor lineal es irreducible, tiene los mismos factores lineales y luego tienen las mismas raíces.
Teorema 9.12 Un escalar [pic] es un valor propio de una matriz A si y solo si[pic]es una raíz del polinomio mínimo de A.
Ejemplo: Hallar el polinomio mínimo m (t) de la matriz A.
[pic]
El polinomio característico de A es:
( (t) = [t I –A] = (t- 2)³ (t -5)
1.- Por elteorema 9.11
t- 2 y t- 5 deben ser factores de m (t)
2.- Por el teorema 9.10
m (t) debe dividir a ( (t)
3.- Por lo tanto m (t) = (t - 2)² (t – 5) es el polinomio mínimo de A.POLINOMIO CARACTERISTICO Y MINIMO DE OPERADORES LINEALES
Supongamos que: T: V( V
▪ Es un operador lineal sobre un espacio vectorial V con dimensión finita.
▪ Polinomio característico ((t) de cualquier representación matricial de T.
Teoremas para T (enunciados para matrices)
Teorema 9.5 T es un 0 de un polinomio característico.
Teorema 9.6 El escalar ( € k es un valorpropio de T si y solo si ( es una raíz del polinomio característico de T.
La multiplicidad geométrica del valor propio ( se define como la dimensión de un espacio propio. Esta no excede sumultiplicidad algebraica.
*Sea V el espacio vectorial de las funciones que tienen [sen(, cos(] como una base, y sea D el operador de derivación sobre V. Entonces:
D(sen () = cos ( = ((sen () + 1(cos()
D(cos () = - sen ( = -1(sen () + ( (cos ()
La matriz A de D en la base anterior es A=[D] = [pic]
Por tanto de (tI –A) = [pic]= t²+1
Y el polinomio característico de D es (t = t² +1
Deotra parte, el polinomio mínimo m (t) del operador T se define independientemente de la teoría de matrices, como el polinomio de menor grado y coeficiente principal 1 que tiene a T como 0. Sin...
▪ Afirma que cualquier factor irreducible de uno de ellos debe dividir alotro
▪ Un factor lineal es irreducible, tiene los mismos factores lineales y luego tienen las mismas raíces.
Teorema 9.12 Un escalar [pic] es un valor propio de una matriz A si y solo si[pic]es una raíz del polinomio mínimo de A.
Ejemplo: Hallar el polinomio mínimo m (t) de la matriz A.
[pic]
El polinomio característico de A es:
( (t) = [t I –A] = (t- 2)³ (t -5)
1.- Por elteorema 9.11
t- 2 y t- 5 deben ser factores de m (t)
2.- Por el teorema 9.10
m (t) debe dividir a ( (t)
3.- Por lo tanto m (t) = (t - 2)² (t – 5) es el polinomio mínimo de A.POLINOMIO CARACTERISTICO Y MINIMO DE OPERADORES LINEALES
Supongamos que: T: V( V
▪ Es un operador lineal sobre un espacio vectorial V con dimensión finita.
▪ Polinomio característico ((t) de cualquier representación matricial de T.
Teoremas para T (enunciados para matrices)
Teorema 9.5 T es un 0 de un polinomio característico.
Teorema 9.6 El escalar ( € k es un valorpropio de T si y solo si ( es una raíz del polinomio característico de T.
La multiplicidad geométrica del valor propio ( se define como la dimensión de un espacio propio. Esta no excede sumultiplicidad algebraica.
*Sea V el espacio vectorial de las funciones que tienen [sen(, cos(] como una base, y sea D el operador de derivación sobre V. Entonces:
D(sen () = cos ( = ((sen () + 1(cos()
D(cos () = - sen ( = -1(sen () + ( (cos ()
La matriz A de D en la base anterior es A=[D] = [pic]
Por tanto de (tI –A) = [pic]= t²+1
Y el polinomio característico de D es (t = t² +1
Deotra parte, el polinomio mínimo m (t) del operador T se define independientemente de la teoría de matrices, como el polinomio de menor grado y coeficiente principal 1 que tiene a T como 0. Sin...
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