Algebra Lineal

Universidad de Oviedo ÁLGEBRA LINEAL Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica en Informática de Oviedo (E.U.I.T.I.O)

Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. APLICACIONES LINEALES.
Capítulo 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. Introducción: Conjuntos numéricos: N = { ,2,3,...} naturales 1

Z = {... − 3,−2,−1,0,1,2,3,...} enteros a  Q =  a, b ∈ Z  racionales b  R reales C = {a + bi a, b ∈R, i 2 = −1} complejos N ⊆Z ⊆Q⊆R⊆C
Grupo: Sea G un conjunto no vacío dotado de una operación interna * verificando las siguientes propiedades: • Asociativa

(G* : G * G → G ) ,

∀a, b, c ∈ G

(a * b ) * c = a * (b * c )
• Elmento neutro Existe un elemento neutro en G para la operacion

*.

∃e ∈ G ∀a ∈ G e*a = a = a*e
• Elemento simétrico Para cada elemento de G existe sucorrespondiente simétrico. si a ∈ G , ∃a

∈ G a *a = e = a * a Entonces se dice que (G ,*) es un grupo. Notas: (G ,*) grupo • si * = + , e = 0 y a = −a opuesto −1 • si * =· , e = 1 y a = a inverso • si * es conmutativa (∀a, b ∈ G , a * b = b * a ) se dice que el grupo tiene estructura de
grupo abeliano. Anillo: Sea A un conjunto no vacío dotado de dos operaciones internas, + y · , verificando lassiguientes propiedades: • El conjunto A con la operación interna + ( A,+ ) tiene estructura de grupo abeliano • • La operación interna · es asociativa Distributiva La operación · es distributiva respecto de + .

∀a, b, c ∈ A o (a + b )·c = a·c + b·c o a·(b + c ) = a·b + a·c Entoces se dice que ( A,+,·) es un anillo.
Alberto Suárez López Página 1

Universidad de Oviedo ÁLGEBRA LINEAL EscuelaUniversitaria de Ingeniería Técnica en Informática de Oviedo (E.U.I.T.I.O) Notas: • • •

( A,+,·) anillo

si · es conmutativo, se dice ‘anillo conmutativo’ si existe 1 ∈ A , neutro para A , se dice ‘anillo unitario’ si existen a, b ∈ A, a ≠ '0 ≠ b , tales que a·b = 0 , se dice ‘anillo con divisores de cero’

Cuerpo: Sea K un conjunto no vacío dotado de dos operaciones internas, + y · ,verificando las siguientes propiedades: • El conjunto K con la operación interna + (K ,+ ) es conmutativo •

(K

*

= K − {0},· es grupo

)

• Distributivas Entonces se dice que (K ,+,·) es un cuerpo. Notas: •

(K ,+,·) cuerpo

si · es conmutativo, K es ‘cuerpo conmutativo’

Definiciones básicas y propiedades. Concepto espacio vectorial. Sea K un cuerpo y V un conjunto no vacío dotado deuna operación interna + y una operación externa definida a la izquierda con un dominio de operadores en el cuerpo, K ·(·: K ·V → V ) , verificando las siguientes propiedades: • Ley interna o (V ,+ ) es grupo abeliano • Ley externa o Distributiva de los elementos de K respecto a los elementos de V

∀u , w ∈ V , ∀α ∈ K

α ·(u + w) = α ·u + α ·w
o Distributiva de los elementos de V respecto a loselementos de K

∀α , β ∈ K , ∀u ∈ V (α + β )·u = α ·u + β ·u
o Asociativa mixta

∀α , β ∈ K , ∀u ∈ V (α ·β )·u = α ·(β ·u )
o Neutralidad

∀u ∈ V 1·u = u (1 ≡ neutro ) Entonces se dice que (V ,+,·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo K ó un K − espacio vectorial . Notas: (V ,+,·) espacio vectorial Los elementos de K se dicen escalares y los de V , vectores.

Alberto Suárez LópezPágina 2

Universidad de Oviedo ÁLGEBRA LINEAL Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica en Informática de Oviedo (E.U.I.T.I.O) Consecuencias: Sea V un K − espacio vectorial : •

∀u ∈ V ,0 K ·u = 0V
Demostración:

∀u ∈ V ,0 K ·u = (0 K + 0 K )·u = 0 K ·u + 0 K ·u ⇒ 0V = 0 K ·u

•

∀u ∈ V , (− 1)·u = −u
Demostración:

(− 1)·u + u = (− 1)·u + 1·u = (− 1 + 1)·u = 0 K ·u = 0V
• •

⇒(− 1)·u = −u

∀α ∈ K , α ·0V = 0V
si α

∈ K y u ∈ V tales que α ·u = 0V , entonces α = 0 K ó u = 0V S se dice que es un

Subespacio vectorial: Sea V un K − espacio vectorial y S un subconjunto de V . subespacio vectorial de V si es un K

− espacio vectorial con las operaciones heredadas.

Proposición: Sea V un K − espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de V . Entonces S es un...