Algebra Lineal

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TANTOYUCA
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TANTOYUCA


AGRONOMIA

ALGEBRA LINEAL

DOCENTE: CESAR ARTURO MENDO ZAVALA

ALUMNA: ADRIANA CANALES ZAVALA

SEMESTRE: 1º ERO GRUPO: “A”

TANTOYUCA VER, A 11 DEDICIEMBRE DEL 2012

VECTOR
Tanto en Física como en Ingeniería un vector se caracteriza por dos magnitudes (longitud y dirección)y se representa por un segmento recto dirigido. Un vector en el plano puede ubicarse en diferentes lugares. Sin embargo, con independencia de dónde esté situado, si la longitud y dirección no varían se trata del mismo vector.

ESPACIO VECTORIAL
Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por unvector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representaría como u o v. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c o u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:* Para cualquiera dos vectores u y v en V

u ⊕ v ∈ V (1)

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:
“La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.”

* Para cualquiera dos vectores u y v en V

u ⊕ v = v ⊕ u

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:
“El orden de los sumandos noaltera el resultado de la suma.”

* Para cualquiera tres vectores u, v y w en V

u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w

Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:
“En una suma de vectores, no importa el orden como asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.”

* Existe un único vector en V que se simbolizara por 0 y que se llamara el vector cero tal quepara cualquier vector u ∈ V se cumple:

u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u

Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:
“Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.”

* Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple:

u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0

Este axioma seconoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:
“Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con el da el neutro aditivo.”

* Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple:

c ⊙ u ∈ V

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares:
“El resultado del producto entrecualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.”

* Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple:

c ⊙ (u ⊕ v) = (c ⊙ u) ⊕ (c ⊙ v)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores):
“En un producto de un escalar por una suma devectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados.”

* Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple:

(a + b) ⊙ u = (a ⊙ u) ⊕ (b ⊙ u)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalaressobre la suma escalares.

Espacio vectorial
Sea K un cuerpo y V un conjunto no vacío. Se dice que V es un K–espacio vectorial si existen dos operaciones
+ : V × V → V ・ : K × V → V
Verificando las siguientes propiedades (siendo u, v, w elementos cualesquiera de V y a, b elementos cualesquiera de K; 1 denota el elemento neutro del producto en K):
• (u + v) + w = u + (v + w); u + v = v + u;...