Algebra Lineal
Páginas: 10 (2320 palabras)
Publicado: 31 de mayo de 2015
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PRIVADA DR. RAFAEL BELLOSO CHACIN
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL
Algebra Lineal
Índice 1er Corte
1. Introducción a la materia
Ruffini
Método de igualación
Método de sustitución
Mínimo común Múltiplo
Factor común
Método de Reducción
2. Operaciones para resolver matrices
Forma escalonada reducida
GaussJordán
Sistema Homogéneo
Multiplicación de Matrices
Matriz inversa
INTRODUCCION A LA MATERIA
Ruffini: 1 X³ + 7/120 X² – 7/480X -1/960
1
+
7/120 - 7/480
1/8
1/8
1
– 111/480 + 1/960
+ 11/60 + 1/120
-1/10
-1/10
1
- 1/960
1/12
- 1/120
0
0
Método de igualación:
2X + Y= 3
(-2) X + 3Y= 2
(-3) 2X + Y= 3
X + 3Y= 2
2X + Y= 3
-2X - 6Y=-4
-6X - 3Y= -9
X + 3Y= 2
-5Y= -1
Y= -1/-5
Y= 1/5-1/12
-1/12
1
0
( X- 1/8) ; (X + 1/10) ; (X+1/12)
2X + Y= 3
X + 3Y= 2
2 ( 7/5) + (1/5) = 3
(7/5)+ 3 (1/5)= 2
-5X = -7
X=-7/-5
X=7/5
Método de sustitución: 2X + Y = 3
X + 3Y = 2
Y= ( 3 – 2X)
Factor común:
7X + 7Y = 7( X + Y)
X + 3 ( 3 – 2X)= 2
X + 9 – 6X= 2
X – 6X= 2 – 9
- 5X = -7
X = 7/5
Y = 3 – 2X
Y = 3 – 2 (7/5)
Y = 3/1 – 14/5
Y = -15 + 14
-5
Y = -1/-5
Y = 1/5
Mínimo Común Múltiplo:180
180
90
45
9
3
1
2
2
5
3
3
( 2 x 2 x 5 x 3 x 3) = 180
Método de reducción: 3X - 4Y = -6
2X + 4Y = 16
3X – 4Y = -6
2X + 4Y= 16
6X – 8Y=12
-6X - 12Y =-48
- 20 = -60
X (2)
X (-3)
6X – 8Y = -12
-6X – 12Y= -48
Y= 3
Operaciones para resolver matrices
•
•
•
Si A es una matriz de M x N entonces puedo multiplicar una fila de la matriz por una constante diferente.
Si ya es una matriz de M x Nentonces puedo sumar algebraicamente 2 filas de la matriz .
Si ya es una matriz de M x N entonces puedo intercambiar dos o mas filas de la matriz .
Matriz de Forma escalonada reducida:
X² - 3X³ = -5
2X + 3X²- X³ = 7
4X + 5X²- 2X³ =10
½• F1
0 1 -3 : -5
2 3 -1 : 7
4 5 -2 : 10
1
0
0
F1↔ F2
2 3 -1 = 7
0 -1 -3 =-5 -2 • F1+ F3
4 5 -2 = 10
2 3 -1 = 7
0 1 -3 = -5 F2 + F3
0 -1 0 = -4
2 3 -1 = 7
0 1 -3 =-5
0 0 -3 = -9
3/2 -1 = 7/2
1 -3 = -5
0 -3 = -9
0X1 + 0X2 – 3X3 = -9
X3 = 3
0X1 + X2 – X3 = -5
X2 – 3 (3) = -5
X2 – 9 = -5
X2 = -5 +9
X2 = 4
2X1 + 3X2 – X3 =7
2X1 + 3(4) – 3 = 7
2X1 + 12 – 3 = 7
2X1 + 9 = 7
2X1 = 7 – 9
X1 = -2/2
X1 = -1
Comprobación :
I) X2 – 3X3 = -5
(4) – 3 (3)= -5
4 - 9 = -5
II) 2X1 + 3X2 – X3 = 7
2(-1) + 3(4) – (3) = 7
-2 + 12 -3 = 7
III) 4X1 + 5X2 – 2X3 =10
4(-1) + 5(4) -2(3)= 10
-4 + 20 -6 =10
Continuación de la matriz
2 3 -1 : 7
0 1 -3 :-5
0 0 1:3
F3 + F2
2
0
3 -1 :7
1 0 :4
0
0
2 3 0 :7
F3 + F1 0 1 0 :4
0 0 1 :3
-3F2 + F1
1 :3
X1= -1
X2= 4
X3= 3
Gauss – Jordán
X1
1 0 0:p
0 1 0:t
0 0 1:n
A11 A12 A13 A14 A15 : P
A21 A22 A23 A24 A25 : W
A31 A32 A33 A34 A35 : T
X4 + A23 X5 = T → X4 = T – A25X5
X3 + A25 = W → X3 = W – A25 X3
X1 + A12 X2 + A15 X5 = P→ X = P – A15 X5
X2
1 A12
0
0
0
0
X3
X4
X5
0
1
0
0
0
1
A15
A25
A35
2 0 0 : -2
0 1 0 : 4
0 0 1 : 3
1 0 0 : -1
½. F1 0 1 0 : 4
0 0 1 :3
Gauss- Jordán
6X3 + 2X4 – 4X5 – 8X6 = 8
3X3 + X4 – 2X5 – 4X6 = 4
2X1 – 3X2 + X3 + 4X4 – 7X5 + X6 = 2
6X1 – 9X2 + 0X3 +11X4 – 9X5 + 3X6 = 0
0 0 6 2 -4 -8 : 8
0 0 3 1 -2 -4 : 4
2 -3 1 4 -7 1 : 2
6 -9 0 11 -9 3 : 0
2 -3 1
0 0 3
4
1
0
0
2
0
0
0
0
0
-3
0
00
2 -4 -8 : 8
0 0 -4 :- 2
4 -7 1 : 2
1 -2 -4 : 4 1/3 F2
0 0 -4 : -2 -1/4. F3
0 0 0: 0
2
0
0
0
-3
0
0
0
6
0
1
3
0
0
-7 1 : 2
-2 -4 : 4
0 11/3
1 1/3
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0 0
X2= 2
X4= 6
X5= 6
-19/3
-2/3
0
0
2
F2 ↔ F1 0
0
6
2
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0
1
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0
: 1/2
: 2 ½. F1
:½
:0
-3
0
-3
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0
0
-3
0
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-9
1 4
3 1
1 4
3 1
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-7 1 : 2
-2 -4 : 4
-4 -8 : 8
-9 3 : 0
-7 1 : 2
-2 -4 : 4
-1 F3 +F2
0 0 0 -4 : -2
0 0 0 0: 0
1 4
-7 1 : 2
1 1/3 -2/3 0 : 2
0 0
0
1 :½
0 0
0
0 :0
1 -3/2 0 11/6
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0 0 0 0
-3.F1+ F4
-19/6
-2/3
0
0
-1 F3 + F1
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1
0
: -1/4
: 2
:½
:0
2
0
0
0
-3
0
0
0
1
3
6
-3
4
1
2
-1
-7
-2
-4
2
2
0
-3 1 4 -7 1 : 2
0 3 1 -2 -4 : 4
0
0
0 0 0 0 -4 : -2
0 0 0 0 0:0
2 -3 1 4
-7
0
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F1
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
1:
-4 :
-8 :
0:
2
4
8
6
F 2+...
UNIVERSIDAD PRIVADA DR. RAFAEL BELLOSO CHACIN
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL
Algebra Lineal
Índice 1er Corte
1. Introducción a la materia
Ruffini
Método de igualación
Método de sustitución
Mínimo común Múltiplo
Factor común
Método de Reducción
2. Operaciones para resolver matrices
Forma escalonada reducida
GaussJordán
Sistema Homogéneo
Multiplicación de Matrices
Matriz inversa
INTRODUCCION A LA MATERIA
Ruffini: 1 X³ + 7/120 X² – 7/480X -1/960
1
+
7/120 - 7/480
1/8
1/8
1
– 111/480 + 1/960
+ 11/60 + 1/120
-1/10
-1/10
1
- 1/960
1/12
- 1/120
0
0
Método de igualación:
2X + Y= 3
(-2) X + 3Y= 2
(-3) 2X + Y= 3
X + 3Y= 2
2X + Y= 3
-2X - 6Y=-4
-6X - 3Y= -9
X + 3Y= 2
-5Y= -1
Y= -1/-5
Y= 1/5-1/12
-1/12
1
0
( X- 1/8) ; (X + 1/10) ; (X+1/12)
2X + Y= 3
X + 3Y= 2
2 ( 7/5) + (1/5) = 3
(7/5)+ 3 (1/5)= 2
-5X = -7
X=-7/-5
X=7/5
Método de sustitución: 2X + Y = 3
X + 3Y = 2
Y= ( 3 – 2X)
Factor común:
7X + 7Y = 7( X + Y)
X + 3 ( 3 – 2X)= 2
X + 9 – 6X= 2
X – 6X= 2 – 9
- 5X = -7
X = 7/5
Y = 3 – 2X
Y = 3 – 2 (7/5)
Y = 3/1 – 14/5
Y = -15 + 14
-5
Y = -1/-5
Y = 1/5
Mínimo Común Múltiplo:180
180
90
45
9
3
1
2
2
5
3
3
( 2 x 2 x 5 x 3 x 3) = 180
Método de reducción: 3X - 4Y = -6
2X + 4Y = 16
3X – 4Y = -6
2X + 4Y= 16
6X – 8Y=12
-6X - 12Y =-48
- 20 = -60
X (2)
X (-3)
6X – 8Y = -12
-6X – 12Y= -48
Y= 3
Operaciones para resolver matrices
•
•
•
Si A es una matriz de M x N entonces puedo multiplicar una fila de la matriz por una constante diferente.
Si ya es una matriz de M x Nentonces puedo sumar algebraicamente 2 filas de la matriz .
Si ya es una matriz de M x N entonces puedo intercambiar dos o mas filas de la matriz .
Matriz de Forma escalonada reducida:
X² - 3X³ = -5
2X + 3X²- X³ = 7
4X + 5X²- 2X³ =10
½• F1
0 1 -3 : -5
2 3 -1 : 7
4 5 -2 : 10
1
0
0
F1↔ F2
2 3 -1 = 7
0 -1 -3 =-5 -2 • F1+ F3
4 5 -2 = 10
2 3 -1 = 7
0 1 -3 = -5 F2 + F3
0 -1 0 = -4
2 3 -1 = 7
0 1 -3 =-5
0 0 -3 = -9
3/2 -1 = 7/2
1 -3 = -5
0 -3 = -9
0X1 + 0X2 – 3X3 = -9
X3 = 3
0X1 + X2 – X3 = -5
X2 – 3 (3) = -5
X2 – 9 = -5
X2 = -5 +9
X2 = 4
2X1 + 3X2 – X3 =7
2X1 + 3(4) – 3 = 7
2X1 + 12 – 3 = 7
2X1 + 9 = 7
2X1 = 7 – 9
X1 = -2/2
X1 = -1
Comprobación :
I) X2 – 3X3 = -5
(4) – 3 (3)= -5
4 - 9 = -5
II) 2X1 + 3X2 – X3 = 7
2(-1) + 3(4) – (3) = 7
-2 + 12 -3 = 7
III) 4X1 + 5X2 – 2X3 =10
4(-1) + 5(4) -2(3)= 10
-4 + 20 -6 =10
Continuación de la matriz
2 3 -1 : 7
0 1 -3 :-5
0 0 1:3
F3 + F2
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F3 + F1 0 1 0 :4
0 0 1 :3
-3F2 + F1
1 :3
X1= -1
X2= 4
X3= 3
Gauss – Jordán
X1
1 0 0:p
0 1 0:t
0 0 1:n
A11 A12 A13 A14 A15 : P
A21 A22 A23 A24 A25 : W
A31 A32 A33 A34 A35 : T
X4 + A23 X5 = T → X4 = T – A25X5
X3 + A25 = W → X3 = W – A25 X3
X1 + A12 X2 + A15 X5 = P→ X = P – A15 X5
X2
1 A12
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X3
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A15
A25
A35
2 0 0 : -2
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1 0 0 : -1
½. F1 0 1 0 : 4
0 0 1 :3
Gauss- Jordán
6X3 + 2X4 – 4X5 – 8X6 = 8
3X3 + X4 – 2X5 – 4X6 = 4
2X1 – 3X2 + X3 + 4X4 – 7X5 + X6 = 2
6X1 – 9X2 + 0X3 +11X4 – 9X5 + 3X6 = 0
0 0 6 2 -4 -8 : 8
0 0 3 1 -2 -4 : 4
2 -3 1 4 -7 1 : 2
6 -9 0 11 -9 3 : 0
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-2 -4 : 4
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X2= 2
X4= 6
X5= 6
-19/3
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3 1
1 4
3 1
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-4 -8 : 8
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-7 1 : 2
-2 -4 : 4
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0 0
0
0 :0
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-1 F3 + F1
0
0
1
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:½
:0
2
0
0
0
-3
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0
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-1
-7
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2
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0
0
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0
0
0 0 0
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1:
-4 :
-8 :
0:
2
4
8
6
F 2+...
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