algebra lineal




5- Transformaciones lineales
Desde el punto de vista del Algebra Lineal, las funciones más importantes son las que preservan las combinaciones lineales. Estas funciones se llamaran Transformaciones Lineales.

5.1-Introducción a las transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir,con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares. Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipode funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos como se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
Una transformación lineal omapeo lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
         a) T (u + v) = T (u) + T (v)
         b) T (c u) = c T (u)

Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por
                        
es lineal. 
                  
                  








Entonces : 
                  
   

Por otro lado, para todo escalar c, 
                             
          

Como se cumplen las dos condiciones:       
                      
     

T es lineal.

Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.





Ejemplo

1). Si V1 = (1,-1), V2 = (2,-1),V3= (-3,2) y W1= (1,0), W2=(0,-1), W3=(1,1). ¿Existe una transformación lineal T: R2 - > R, tal que T (vi) = Wi para i = 1, 2, 3 ?
Solución:
Si { v1, v2 , v3 } es base de R2 , entonces existe una única transformación lineal
T: R2 -> R
Pero:
(-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1)
-> { v1, v2 , v3 } no es linealmente Independiente
-> { v1, v2 , v3 }no es base de R 2
-> no existe tal transformaciónlineal

2). Sea T: R3 -> R3 , transformación lineal , tal que :
T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) = ( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1)
Encontrar T (x,y,z)

Solución:
Por demostrar que el conjunto {(1,1,1), (1,0,1),(0,1,1)} es base de R3
Sea a.b.c = R, tal que .

a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0)

a + b = 0
a + c = 0 -> a = b = c = 0
a + b + c = 0

Luego{(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente Idependiente
Sea (x,y,z) = R 3 , entonces existen escalares a,b,c = R tal que:
a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z)
a + b = x
a + c = y -> a = x + y - z ; b = z - y ; c = z – x
a + b + c = z

Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es base de R 3
Existe una única T transformación lineal de R 3 en R 3 tal que :
T(1,1,1) = (1,0,2) , T(1,0,1) = (0,1,1) , T(0,1,1) = (1,0,1)T(x,y,z) = T(a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1))
T(x,y,z) = aT(1,1,1) + bT(1,0,1) + cT(0,1,1)
T(x,y,z) = (x+y-z)T(1,1,1) + (z-y)T(1,0,1) + (z-x) T(0,1,1)
T(x,y,z) = (x+y-z)(1,0,2) + (z-y)(0,1,1) + (z-x)(1,0,1) T(x,y,z) = (y , z-y , x+y)






5.2-Núcleo e imagen de una transformación lineal

Teorema  1
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,
v2, . . ., vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:
i. T(0) = 0
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la
derecha es el vector cero en W.
Teorema 2
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sean w1,
w2, . . . , wn vectores en W....