Algebra lineal

Profesor: Luís I Ceja Mena

PROBLEMAS: DETERMINANTES E INVERSA 1.- Sean A y B dos matrices de orden 3x3, tales que det(A) = 5 y det(B) = -7 . Calcular:
a) det(A -1 ) b) det(A T ) e) det(AB) c) det(kA) , k ∈ R f) det(AB) T d) det(kA)-1 , k ∈ R

g) det(A −1 B −1 )

2.- Haga uso de las operaciones o transformaciones elementales válidas en una matriz y de las propiedades de los determinantespara calcular:

4 −1 8  1 1 1 1 1  0   8 6 16  2 − 1 2 1 , det  6 det  3 7 6 1 −1 2 1    0 3 0 1  3 3 3 2   − 7 − 2 8 −4 
3.- ¿Para que valor(es) de k es singular la matriz A ?
 1 2 4   A =  3 1 6    k 3 2

3 4 −1 2  1   0 1 8 6 1   2 , det  2 8 7 6   1 12 − 3 0  3 − 7 − 28 2 7 − 14  

3 1  2  1 2 

,

0  k − 3 A=  −2 k + 1  2
4 − 2  . Encuentre la matriz A .  2 − 2

4.- a) Sea A una matriz tal que su inversa es  b) Calcule la matriz inversa (si existe) de:
1 1 1   A =  0 2 3 5 5 1  

 1 2 3   B =  4 5 6 7 8 9  

5.- Suponga que
a b c    det d e f  = 5 . Encuentre: g h i    d e f    (a ) det g h i  a b c     − a − b − c   (b) det  2d 2e 2f   − g − h − i 

PROBLEMAS: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1) Para cada uno de los siguientes problemas, determine si el sistema tiene un número infinito de soluciones o sólo la solución trivial. No resuelva los sistemas:

Profesor: Luís I Ceja Mena

 0.07 x + 0.3 y + 0.02 z = 0  3w + 5 x − 4 y + 2 z = 0 a)  b)  0.053 x − 0.4 y + 0.08 z = 0 7 w − 2 x + 9 y + 3 z = 0
 3x − 4 y = 0 y + z = 0 2 x+ 3 y + 12 z = 0 x +    c )  x + 5 y = 0 d )  3 x − 2 y + 5 z = 0 e)  x − z = 0 4 x − 4 x +  y = 0 y + 14 z = 0 x − 2 y − 5z = 0  

z = 0 2 x + 5 y −  f )  x + 4 y − 2z = 0 3x − 2 y + 6 z = 0 
2) Resuelva cada uno de los siguientes sistemas:

y = 0  x + 2 x − 5 y = 0  x + 6 y − 2z = 0 1)  2)  3)  3x − 4 y = 0 8 x − 20 y = 0 2 x − 3 y + 4 z = 0 y = 0  x + 4 x − 3y + 2 z = 0 4 x + 7 y = 0   4)  5) 3 x − 4 y = 0 6)  x + 2 y + 3 z = 0 2 x + 3 y = 0 5 x − 8 y = 0  x + y + z = 0  
 x  5 x 7)  3x 3x  +  x  x − 2 y − 9z = 0  8)  + y − z = 0 2 x  3x − 2 y − 7z = 0  y + z = 0 + y + 7z = 0

− y − z = 0 − 3y − 6z = 0 + y + 13 z = 0

w w  9)  2 w w 
3)

+

 w  w + x + 5z = 0  10)  + x + 3y + 4z = 0  w 2 w − 3x + 2 y − 9z = 0  x y

+

+ 4z = 0

+

x + 2 y + 7z = 0

− 2x − y + z = 0 + 2x + 3y + 9z = 0 − 3x − y + 4z = 0

En los siguientes problemas, si la matriz dada es invertible (no-singular), encuentre su inversa:

 6 1  1)   7 1  

 2 8 2)   3 12    

 1 1 3)   1 1   

3 1 4 8 4)  0 − 1   6 

Profesor: Luís I Ceja Mena

0 0 0 1  2 0 8 1 2 3 2 0 2 4 0 0 0             5)  0 − 3 0  6)  − 1 4 0  7)  0 0 4  8)  0 0 0  9)  8 1 10)  0 0 0  0 0 5  0 0 − 4  6 3 0 0 0 0  2 1 0 0 4             5 1 0  1 1 1  1 2 − 1  7 0 − 2  7 −8 2           11)  0 1 1 12)  0 1 4  13)  0 1 0  14)  − 4 5 − 3  15)  4 − 1 5  − 3 0  1 −1  1 −1 2  0 0 1  1 −1 2 1 1           − 5 4 − 3 1 2 3   2 − 1 3       16)  10 − 7 6  17) 1 3 5  18)  0 2 0   1 5 12  2 1 1  8 −6 5     
4) Para cada uno de los siguientes problemas, si la matriz de coeficientes del sistema es invertible (no-singular), resuelva el sistema utilizando la inversa. Si no es así (la matriz de coeficientes no invertible, singular), resuelva el sistema por el método deGauss:

2 6 x + 5 y = a)  y = −3  x +
 3x + 2 y = 26 d)  4 x + 3 y = 37  x + 2y +  g )3x +  x − y + 

4  2x + 3 y = b)  − x + 5 y = − 2
2 x + 6 y = 2 e)  3x + 9 y = 3

2 x + c)  3x −

y = 5 y = 0

2 x + 8 y = 3 f)   3 x + 12 y = 6

z = 4 x +  z = 2 h)  x − x − z = 1 

y + y + y −

z = 2 x +  z = − 2 i ) x − x − z = 0 

y + y + y −

z = 2 z...