algebra vectorial

A LGEBRA V ECTORIAL

c

PROF. ESTEFANO MAMANI
´
 AREA DE F´
ISICA

Este texto est´ elaborado para servir de apoyo en el avance del cap´
a
ıtulo ALGEBRA VECTORIAL para el primero de
secundaria. Contiene esencialmente definiciones y demostraciones elementales para el desarrollo del tema. Esta revisado y
aprobado por el ´rea educativa de la comunidad de cient´
a
ıficos e investigadores“ACP - KCP” (Aymarean Community of
Physics.)
Para hacer comentarios y observaciones puede dirigirse al correo electr´nico uestefano.thesins@gmail.com
o

Para obtener la ultima versi´n de este documento o contactarse con el autor, visitar
´
o
http://www.estefanomamani.nixiweb.com/~sica/algebravectorial/.

La Paz - Bolivia - 2013

1
Algebra vectorial
1.1.

Definiciones

Muchasveces para identificar un vector suele colocarse una flecha encima as´ A o bien
ı:
−
→
OP , tambi´n es valida la notaci´n de un vector con una letra en negrilla a y a su m´dulo
e
o
o
con una letra normal a. En este texto indicaremos un vector con una flecha encima as´ A
ı:

Definici´n 1 Se llama espacio vectorial al conjunto de elementos A1 , A2 , A3 , ... llamados
o
vectores y K1 , K2 , K3, ... llamados escalares, entre los cuales est´n definidas las siguientes
a
operaciones:
Adici´n: A todo vector A1 , A2 le corresponde un vector A1 + A2 con las propiedades siguo
ientes:
a) A1 + A2 = A2 + A1 ( Propiedad conmutativa);
b) A1 + (A2 + A3 ) = (A1 + A2 ) + A3 ( Propiedad asociativa);
c) Existe un elemento 0 ( vector nulo) tal que, cualquiera que sea A, se verifica A + 0 = A;
d) Atodo vector A le corresponde otro vector −A ( vector opuesto), tal que A + (−A) = 0;
Multiplicaci´n por un escalar: Todo n´mero real λ y todo vector A determinan un vector
o
u
Aλ con las siguientes propiedades:
a) λ(A1 + A2 ) = λA1 + λA2 ( Propiedad distributiva respecto de la adici´n de vectores);
o
b) (λ1 + λ2 )A = λ1 A + λ2 A ( Propiedad distributiva respecto de la adici´n de escalares);o
c) (λ1 λ2 )A = λ1 (λ2 A) ( Propiedad asociativa);
d) 1A = A;
2

Estefano Mamani

Cualquier conjunto de elementos entre los cuales puedan definirse las operaciones anteriores
podr´ considerarse un espacio vectorial y a los elementos mismos como vectores.
a

Definici´n 2 Se dice que una magnitud es escalar cuando el conjunto de sus valores tiene
o
correspondencia con el conjunto delos n´meros reales o una parte del mismo.
u

Definici´n 3 Una magnitud se llama vectorial cuando el conjunto de sus valores puede poo
nerse en correspondencia con el conjunto de segmentos orientados que parten de un mismo
origen o con una parte del mismo.

Definici´n 4 Se llama vector a todo segmento orientado. El primero los puntos que lo deo
terminan se llama origen y el segundo se llamaextremo del vector.

Definici´n 5 Se llama m´dulo de un vector a la longitud del segmento orientado que lo
o
o
define. El m´dulo de un vector es siempre un n´mero positivo. Si el vector es A = OP , el
o
u
m´dulo se representa por cualquiera de las tres maneras:
o
m´d A = |A| = |OP |
o
Definici´n 6 Dos vectores se dicen iguales o equipotentes cuando tienen el mismo m´dulo
o
o
y la mismadirecci´n y sentido.
o

1.2.

Componentes de un vector

Supongamos en el espacio un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen
O y ejes x, y, z.
Sean P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y2 , z2 ) el origen y el extremo de un vector dado.
Definici´n 7 Se llaman componentes de un vector A respecto del sistema (O ; x,y,z) a las
o
proyecciones de A sobre los ejes, o sea a los n´meros.u

ax = x2 − x1 ,

ay = y2 − y1 ,

az = z2 − z1

(1.1)
P´gina 3
a

Estefano Mamani

El m´dulo de A, se verifica como.
o
a=

ax 2 + ay 2 + az 2

(1.2)

Expresi´n que se toma siempre positiva y que nos da el m´dulo de un vector en funci´n de
o
o
o
sus componentes.

z
a = [x, y, z]

az

ax

y

ay

x

Figura 1.1: Gr´fica de un vector en IR3
a

Ejemplos 1...