algebra y geometria


ALGEBRA Y GEOMETRIA
Elementos de las cónicas:
Superficie: Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
Generatriz: La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
Vértice: El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Hojas: Las hojas son las dos partesen las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
Sección: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.
 
Elipse

La elipse es la secciónproducida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
α < β β
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

Ecuación de la hipérbola
 
Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejescoinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:
F'(−c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y teniendo en cuenta que , llegamos a:



Ejemplos
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4,0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).



 
Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.



 
Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x2 - 16y2 = 144.








Ecuación reducida de ejevertical de la hipérbola

F'(0, −c) y F(0, c)
La ecuación será:

Ejemplo
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).





Ecuación de la hipérbola



Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:Ejemplos
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).






Ecuación de la hipérbola de eje vertical



Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:





Ejemplo
Al quitar denominadores y desarrollar lasecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.


Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).






Ejercicios
Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:
1 











2 Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.






El eje principal de una hipérbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su ecuación.





Calcular la ecuación reducida de la hipérbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vértice más próximo es 2.





Determina la ecuación reducida de unahipérbola que pasa por el punto  y su excentricidad es .







Determina la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que un foco dista de los vértices de la hipérbola 50 y 2.





El eje principal de una hipérbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la ecuación de la hipérbola.






Calcular la ecuación de una hipérbola equilátera sabiendo que su distancia focal...