Algebra

Productos notables:
Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, lafactorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente

Tipos de productos notables:
-Binomios conjugados.
-Binomios al cuadrado.
-Binomios al cubo.
-Binomios por trinomios que resulten en suma y diferencia de cubos.
-Binomios con término común.

Binomios al cuadrado o cuadrado de un binomio:
Para elevar un binomio al cuadrado(es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Un trinomio de la expresión siguiente: a2 + 2ab + b2 se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
En ambos casos el signo del tercer término es siemprepositivo.
Ejemplo:
(2x - 3y)2 = 2x2 + 2 (2x)(-3y) + (-3y)2

Simplificando:
(2x-3y)2 = 4x - 12xy + 9y2

Binomios conjugados:
Se llama binomio a toda expresión algebraica formada por dos términos. Por ejemplo,
x³ + 5
ab - c²

Los binomios conjugados
Son aquellos que se diferencian en el signo de uno de sus términos.

Ejemplo 1. (2x + 7), (2x - 7)
Ejemplo 2. (xy + 3z), (xy - 3z)
Ejemplo3. (9a - a²), (9a + a²)
Ejemplo 4. (4mt² + 1), (4mt² - 1)

Binomio al cubo:
Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
El cubo del segundo término.
(a + b)3 = x3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

Identidades de cauchy:
(a + b)3 = a3+ b3 + 3ab(a + b)

Ejemplo: (x + 2y)3 = x3 + 3(x)2 2(y) + 3(x) 2(y)2 + (2y)3

Agrupando términos:
(x+2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy + 8y3
Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:
El cubo del primer término.
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
Menos el cubo del segundo término.
(a -b)3 = x3 - 3a2 b - 3ab2 - b3

Identidades de cauchy:
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

Ejemplo: (x - 2y)3 = x3 - 3(x)2 2(y) - 3(x) 2(y)2 - (2y)3

Agrupando términos:
(x - 2y)3 = x3 - 6x2y - 12xy - 8y3

Producto de binomio por trinomio que produce una suma de cubos

Este tipo de producto notable es parecido a unos binomios conjugados, debido a que la multiplicación del binomio portrinomio produce una suma de cubos del primer y segundo término del binomio.

Debemos saber que el binomio esta integrado en este caso por los términos "a" y "b"; por lo que el trinomio esta integrado por el cuadrado del primer termino (a^2), menos el producto del primer termino por el segundo, más el cuadrado del segundo termino.
( a + b ) ( a^2 - ab + b^2 ) = a^3 + b^3

Es importante tomar encuenta el segundo termino del trinomio, debido a que si éste resulta positivo, el resultado no sería una suma, sino una diferencia de cubos. Ejemplo: ( a + b ) ( a^2 + ab + b^2 ) = a^3 - b^3

Producto de dos binomios con un termino comun:
Dos binomios con un término en común serían ( 8x +3) (8x – 1); el término común es 8x y los términos no comunes son +5 y –2.
El producto de dos binomios conun término en común, es posible realizarlo mediante la multiplicación de polinomios o por medio de la siguiente regla:
a) Primero se saca el cuadrado del término común.
b) Se hace la suma de los términos no comunes y se multiplica por el término común.
c) Se multiplican los términos no comunes, ejemplos:

1.- ( 7x +9) (7x – 14)= 49x^2 -35 x – 126
a) El cuadrado del término común.
(7x)2=...