Algebra

Contenido
1 Números Complejos 1.1 Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Números complejos en su forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Problemas diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 5

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CONTENIDO

Capítulo 1 Números Complejos
1.1 Operaciones connúmeros complejos

1. Dado (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i. Hallar x e y, suponiendo que son reales. 2. Demuestre que Re(iz) = −img(z), img(iz) = Re(z). 3. Calcular in , donde n ∈ N. Utilizando lo anterior calcule
100 ∑ k=0

ik = 1 + i + i2 + · · · i99 + i100

4. Comprobar la siguiente identidad: x4 + 4 = (x − 1 − i)(x − 1 + i)(x + 1 + i)(x + 1 + i). 5. Calcular: (a) (1 + 2i)6 . (b) (2 + i)7 +(2 − i)7 . (c) (1 + 2i)5 − (1 − 2i)5 . √ (d) ( 3 − i)5

6. Averiguar cuáles deben de ser las condiciones para que el producto de dos números complejos sea imaginario puro. 7. Efectuar las siguientes operaciones: 1 + i tan(x) . 1 − i tan(x) a + ib . (b) a − ib (1 + 2i)2 − (1 − i)3 (c) . (3 + 2i)3 − (2 + i)2 (a) (d) (e) (1 − i)5 − 1 . (1 + i)5 + 1 (1 + i)9 . (1 − i)7

2 (1 + i)n , donde n ∈ N.(1 − i)n−2

Números Complejos

8. Calcular 9. calcular: (

√ )2 1 3 (a) − + i . 2 2 ( √ )3 1 3 (b) − + i . 2 2

10. Demostrar que si x + iy = (s + it)n , entonces x2 + y 2 = (s2 + t2 )n . 11. Podemos obtener la raíz cuadrada de un número complejo sin recurrir a las coordenadas polares. √ Sea w = a + ib y z = x + iy, supongamos que w = z. (a) Muestre que x = a2 − b2 , y = 2ab. √ x + x2 + y2 (b) si a ̸= 0 muestre que a2 = 2 √ −x + x2 + y 2 2 (c) Tomando lo anterior, muestre que b = 2 (d) Calcule las raíces cuadradas de i. 12. Utilizando el ejercicio anterior, calcule lo siguiente: √ √ (f) −11 + 60i. (a) 2i. √ √ (b) −8i. (g) −8 + 6i. √ √ (c) 3 − 4i. (h) −8 − 6i. √ √ (d) −15 + 8i. (i) 8 − 6i. √ √ (e) −3 − 4i. (j) 8 + 6i. 13. √ a + ib = ±(α + iβ). ¿A qué es igual √ −a − ib? √ 2 − 3i.√ √ 4 + i + 4 − i. √ √ 1 − i 3. √ −1. √ √ 2 − i 2.

(k) (l) (m) (n) (o)

1.2

Números complejos en su forma polar
(a) 1. (c) i. (d) −i. √ (e) i 2. (f) −1 + i. (g) 2 − 3i. (h) 5 + 9i. (i) −4 + 3i. (j) 8 − 7i. (k) −4 + 2i. (l) 2 − 2i.

1. Trazar los siguientes números: √ (b) − 2.

1.2 Números complejos en su forma polar

3

2. Expresar los siguientes números complejos a su forma polar:(a) 1. (b) −1. (c) i. (d) −i. (e) 1 + i. (f) −1 + i. (g) −1 − i. (h) 1 − i. √ (i) 1 + i 3. √ (j) −1 + i 3. √ (k) −1 − i 3. √ (l) 1 − i 3. (m) 2i. (n) −3. √ 3 − i. √ (p) 2 + 3 + i. (o) (q) 3 + i. (r) 4 − i. (s) −2 + i. (t) −1 − 2i.

3. Grafique en el plano complejo los números que satisfacen las siguientes condiciones: (a) Todos los números complejos cuyo módulo es igual a 1. (b) Todos losnúmeros complejos cuyo argumento es igual a π . 6

4. Hallar el lugar geométrico de los números complejos que satisface: (a) |z| < 1. 5. Demostrar la identidad:
2 2

(b) |z − i| ≤ 2. (

(c) |z − 1 − i| < 1. )

|z1 + z2 | + |z1 − z2 | = 2 |z1 | + |z2 | .
2 2

6. ¿En qué condiciones el módulo de la suma de dos número complejo es igual a la diferencia de los módulos de lo sumandos? 7. ¿En quécondiciones el módulo de la suma de dos número complejo es igual a la suma de los módulos de lo sumandos? 8. Demostrar que ) ( )] ( √ √ [ 7π 7π + θ + i sin +θ . (1 + i 3)(1 + i)(cos θ + i sin θ) = 2 2 cos 12 12 9. Simplificar: cos θ + i sin θ . cos β + i sin β 10. Calcular: √ (1 − i 3)(cos θ + i sin θ) . 2(1 − i)(cos θ − i sin θ)

11. Calcular:

4 (

Números Complejos )24 √ 3−i (c) 1 − . 2 √ √(−1 + i 3)15 (−1 − i 3)15 (d) + . (1 − i)20 (1 + i)20

(a) (1 + i)25 . ( (b) √ ) 1+i 3 . 1−i

12. Demostrar:

( nπ ) ( nπ ) ) √ ( (a) (1 + i)n = 2n cos + i sin . 4 ) 4 )) ( ( nπ ( nπ √ + i sin . (b) ( 3 − i)n = 2n cos 6 4 √ 1 3 ω1 = − + i 2 2 ( )n = √ 1 3 y ω2 = − − i . 2 2

13. Haciendo

n n Calcular ω1 + ω2 .

14. Demuestre que:

1 + i tan θ 1 − i tan θ

1 + i tan(nθ) . 1...