algebra



Instituto Tecnologíco de Culiacan





Algebra lineal

Examen Unidad 4 y 5


= (5, 3 − x ) y = (x + 9, 3x + 1)


Son linealmente independientes para x = 1 y x = -22

4.4 Base y dimension de un espacio vectorial, cambio de base
Base: Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmenteindependiente.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Ejemplo:
La base canónica (o base natural, o base estándar) deRn
e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
........ en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de Rn
porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)Rn
se puede expresar
como combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)

Todas las bases de un mismo espacioo subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
• Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio. Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.
Si unespacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensión de esa base y se denota dim(V) = n.
Teóricamente la dimensión se determina al hallar el conjunto de vectores linealmente independientes que genera el sub espacio, este conjunto es una base del sub-espacio y la dimensión del mismo es el numero de vectores que hay en la base.
Para ver que una base en un espacion-dimensional:
Siendo V su espacio vectorial y n = n entonces S = { v1, v2,... ,vn } en un conjunto de vectores linealmente independientes en V, entonces S es una base de V.
Ejemplo:
En R3, sea S el subespacio generado por: (1,0,2), (0,–1,–2), (3,3,3), (2,2,0). Observamos que el rango de este conjunto (= rango de la matriz que forman, por filas o por columnas) es 3. Así por la propiedad 4 , tenemos que dimS = 3. Pero como estamos en R3, por la propiedad 3 ha de ser S=R3.
Cambio de base:
Siendo B={ v1, v2, ..., vn} una base de un espacio vectorial y x un vector en V que representándose como combinación lineal ( x = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn ) siendo los escalares c. Se denomina como coordenadas x con respecto B en el vector Rn denotado así xB = ( c1, c2, ..., cn ).
Partiendo de una base B a unabase B' se tiene que hacer una multiplicación por una matriz p-1 y esta la obtenemos sacando la inversa de la base B esto seria P-1 y multiplicando P-1 por B obtenemos B' y viserversa.
Ejemplo:
Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) será igual a m1u1+ m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizando otra base B2 (de vectores unitarios v1, v2, ...) será n1v1+ n2v2 + n3v3 +...
Supongamos que u1, u2, ... se representan en la base B2 de esta forma:
u1 = a11v1 + a21v2 + ... + an1vn
u2 = a12v1 + a22v2 + ... + an2vn
un = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn
Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula original nos queda:
x = m1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn ) + m2(a12v1 + a22v2 + ... + an2vn) + ...
Reordenando queda:
x = (m1a11 + m2a12 + ... + mna1n)v1 + ...+ (m1an1 + m2an2 + ... + mnann)vn
Comparando con la fórmula x = n1v1+ n2v2 + n3v3 + ... deducimos que:
n1 = m1a11 + m2a12 + ... + mna1n
n2 = m1a21 + m2a22 + ... + mna2n
nn = m1ann + m2an2 + ... + mnann
Esto se puede expresar de forma matricial:
n1 a11 + a12 + ... + a1n m1
n2 = a21 + a22 + ... + a2n m2
nn a2n + an2 + ... + ann mn
Llamando A a la matriz de...