algebra

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

ALGEBRA LINEAL
PROBLEMAS

RESUELTOS

Rodrigo Vargas

Santiago de Chile
2007

ii

Prefacio
Este libro con problemas resueltos pretende sirvir para los estudiantes del
plan com´ n de Ingeneria Civil de la Pontificia Universidad Cat´lica de Chile.
u
o
As´ espero facilitar el estudio y la comprensi´n de los estudiantes. Grupos
ı
oespeciales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentaci´n m´s
o
a
completa y los alumnos, por as´ decirlo, normales que busquen lecturas comı
plementarias pueden consultar el libro “Linear Algebra” de Hoffman y Kunze
que trata los mismos t´picos con un enfoque m´s amplio.
o
a
La parte mas importante de este libro son sus problemas resueltos, que
sirven para fijar ideas, desarrollaralgunos temas esbozados en muchos textos
de algebra lineal y como oportunidad para que el lector compruebe lo sencillo
de algunas soluciones. Naturalmente, me gustar´ que el lector s´lo consultase
ıa
o
las soluciones despu´s de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada
e
problema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin ´xito, el que nos conduce
e
a buenos resultados en elproceso de aprendizaje.
Los problemas que el lector encontrar´ se basan en las ayudantias del
a
curso de algebra lineal impartido en la Pontificia Universidad Cat´lica de
o
Chile, el cual est´ dirigido a estudiantes de Ingeneria Civil.
a

iii

iv

´
Indice general
1. Algebra Lineal Elemental

1

2. Factorizaciones de Matrices

21

3. Determinantes

43

4. Espacios Vectoriales49

5. Transformaciones Lineales, Teorema de la Dimensi´n y Camo
bio de Base
61
6. Bases Ortonormales y Proyecciones

79

7. Vectores y Valores Propios, Diagonalizaci´n
o

85

v

vi

Cap´
ıtulo 1
Algebra Lineal Elemental
1.1. Se dice que v es combinaci´n lineal convexa de u1 , u2 , ..., uk si v =
o
α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk donde αi ≥ 0, i = 1, ..., k y α1 + α2 + ...+ αk = 1.
Demuestre que si u4 es combinaci´n convexa de u1 , u2 , u3 y v es combio
naci´n convexa de u1 , u2 , u3, u4 entonces v es combinaci´n convexa de
o
o
u1 , u2 , u3 .
Soluci´n: Si u4 es combinaci´n convexa de u1 , u2, u3 , entonces
o
o
u4 = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 ,
donde
αi = 1 y αi ≥ 0 para i = 1, . . . , 3. Si v es combinaci´n convexa
o
de u1 , u2 , u3, u4 , entonces
v = β1u1 + β2 u2 + β3 u3 + β4 u4 ,
donde

βi = 1 y βi ≥ 0 para i = 1, . . . , 4. Luego,
v =
=
=
=

β1 u1 + β2 u2 + β3 u3 + β4 u4
β1 u1 + β2 u2 + β3 u3 + β4 (α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 )
(β1 + β4 α1 )u1 + (β2 + β4 α2 )u2 + (β3 + β4 α3 )u3
γ1 u 1 + γ2 u 2 + γ3 u 3

donde γ1 = β1 + β4 α1 ≥ 0, γ2 = β2 + β4 α2 ≥ 0 y γ3 = β3 + β4 α3 ≥ 0.
Adem´s,
a
γi = γ1 + γ2 + γ3 + γ4
= β1 + β4 α1 + β2 + β4 α2 +β3 + β4 α3
= β1 + β2 + β3 + β4 (α1 + α2 + α3 )
= β1 + β2 + β3 + β4 = 1 .
Por lo tanto, v es combinaci´n convexa de u1 , u2 , u3.
o
1

2

Cap´
ıtulo 1. Algebra Lineal Elemental

1.2. Demuestre que si u1 = 2v1 + 3v2 , u2 = −v1 + 3v2 entonces se cumple
que: < u1 , u2 >=< v1 , v2 >.
Soluci´n: Primero probaremos que < u1 , u2 > ⊂ < v1 , v2 >. Para
o
esto, sea x ∈< u1 , u2 > entoncesx = α1 u1 + α2 u2
= α1 (2v1 + 3v2 ) + α2 (−v1 + 3v2 )
= (2α1 − α2 )v1 + 3(α1 + α2 )v2 .
Como x es combinaci´n lineal de los vi ’, es claro que x ∈< v1 , v2 > y,
o
por lo tanto, hemos probado que
< u1 , u2 > ⊂ < v1 , v2 > .
Ahora se probar´ que < v1 , v2 > ⊂ < u1 , u2 >. Notemos que:
a
u1 = 2v1 + 3v2 ⇒ 3v2 = u1 − 2v1
y
u2 = −v1 + 3v2 ⇒ 3v2 = u2 + v1 .

Igualando obtenemos que

u1 −2v1 = u2 + v1
3v1 = u1 − u2
1
(u1 − u2 ) .
v1 =
3
Despejando obtenemos
1
v2 = (u1 + 2u2) .
9
Sea x ∈< v1 , v2 >, este vector se puede escribir de la forma
x = β1 u1 + β2 u2
1
1
= β1 (u1 + u2 ) + β2 u1
3
3
1
1
=
(β1 + β2 )u1 + β1 u2 .
3
3
Como x es combinaci´n lineal de los ui ’, es claro que x ∈< u1 , u2 > y,
o
por lo tanto, hemos probado que
< v1 , v2 > ⊂ < u1 , u2 >
y...