Algebra

Capítulo 3

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

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ÁLGEBRA LINEAL EN CONTEXTO JOSE ARTURO BARRETO GUTIÉRREZ Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Páginas Web: www.abaco.com.ve www.miprofe.com.ve www.abrakadabra.com.ve

CAPITULO 3 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES OBJETIVOS: Al terminar el capítulo el estudiante estará en capacidad de: i) ii) iii) iv) v) vi)vii) Resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss Resolver de ser necesario el sistema de ecuaciones por el método de Gauss Jordan. Hallar expresiones vectoriales de la solución general de un sistema de ecuaciones Determinar para matrices de dimensiones pequeñas, si son no singulares o regulares (poseen inversa) y calcular su matriz inversa. Descomponer de manera rápida una matrizde orden pequeño n, en la forma LU, o en la forma PLU si es el caso, en donde P es una matriz de permutación obtenida al permutar (o nó) dos o más filas de la matriz idéntica. Resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando la descomposición LU (o PLU). Calcular la matriz inversa de una matriz, si existe, a partir de la descomposición LU.

El apéndice A, sobre el método simplex,mostrará casos de sistemas con infinitas soluciones en los cuales debe buscarse una solución óptima en el sentido que allí se aclarará. Los métodos aun cuando generales, se explicarán generalmente basándose en matrices de orden menor, pero en los ejercicios se plantea su extensión (obvia) a matrices de orden superior. Elementos de este texto pueden ser utilizados para enseñar rudimentos de cálculoo análisis numérico.

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3.1 INTRODUCCION Los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas de la forma a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 (3.1) a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 . . aml x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm

en donde losCOEFICIENTES a i j ( i = 1,2,......, m; j = 1,2,....,n ) y los PARAMETROS b1 ( i = 1,2,...m, ) son conocidos aparecen en contextos muy diversos ya sea en el planteamiento matemático de un problema práctico, en una etapa intermedia de la solución del mismo o en la solución final. Por ejemplo para hallar dos números x1 y x2 cuya suma sea 12 y su diferencia 4 debe resolverse el sistema de ecuaciones x1 + x2 =12 (3.2) x1 - x2 = 4 El sistema anterior tiene solución única x1 = 8, x2 = 4. Presentamos a continuación un ejemplo que nos lleva a plantear un sistema de ecuaciones lineales cuya solución no es única. (3.3) ejemplo: Considere una industria pequeña que emplea dos máquinas 1 y 2 en la producción de dos productos diferentes denominados también 1 y 2. Asuma que cada producto elaborado debe sersometido a un proceso en el cual intervienen todas las máquinas. La tabla 3.4 muestra: a) b) El número de horas que trabaja cada máquina en el proceso de producción cada uno de los productos. de una unidad de

El máximo números de horas que cada máquina puede trabajar en la semana ( el tiempo restante de la semana es empleado en mantenimiento ). Tiempo empleado por unidad

(3.4) Producto Máquina 12 1 1 1 1 2 Producto 2 30 50 Número total de horas disponibles/semana

Si xi ( j = 1,2 ) denota el número de unidades de productos j producidas por semana es evidente que x1 + x2 ≤ 30 (3.5) x1 + 2x2 ≤ 50 Además como no se puede producir un número negativo de artículos, se tiene que (3.6) x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

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Las restricciones dadas por (3.5) y (3,6) se puede sustituir por x1 + x2 + x3 = 30 (3.7) x1 + 2x2 + x4 = 50, y (3.8) x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 , x4 ≥ 0

en donde las variables x3 y x4 son variables de HOLGURA, ya que x1 y x2 son soluciones de (3.5) y (3.6) sí y sólo sí son soluciones de (3.7) y (3.8) para algún par de números x3 , x4....